布鲁克斯定理

✍ dations ◷ 2025-09-10 11:56:33 #布鲁克斯定理

图论中，布鲁克定理（英语：Brooks' theorem）描述了图的着色数与图中最大度数的关系，提供了图着色数的一个上界。定理断言，若连通图中，每个顶点都不多于Δ个邻居，且不是完全图或奇环，则可以被Δ-着色，即可以被染成Δ种颜色，使得相邻点颜色互不相同。

考虑为 ${displaystyle G}$ 的顶点排序为 ${displaystyle v_{1},v_{2},...,v_{n}}$ 为完全图或奇环。当为完全图时， ${displaystyle chi (G)=n}$ 为奇环时， ${displaystyle chi (G)=3}$ 中度小于的点 ${displaystyle v_{0}}$ 进行深度优先遍历，按照DFS序的逆序排列的节点。故只有小于等于 - 1个邻点排在它前面，这样，只有小于等于 - 1个邻点排在它前面，而 ${displaystyle d(v_{0})leq k-1}$ - 1个邻点排在它前面，按该次序的贪心染色最多衹用种色。

若要避免术语“DFS”，可以构造下列集合 ${displaystyle {S_{i}}}$ ${displaystyle {S_{i}}}$ 直到里面包含 ${displaystyle G}$ $G$ 中所有顶点：

然后可以用上述贪心染色算法对图 ${displaystyle G}$ $G$ 进行染色。染色顺序为：先染 ${displaystyle S_{l}}$ ${displaystyle S_{l}}$ 中的点，再染 ${displaystyle S_{l-1}}$ ${displaystyle S_{l-1}}$ 中的点，一直这么下去直到染完 ${displaystyle S_{0}}$ $S_{0}$ 中的点。这种算法使用 ${displaystyle l}$ $l$ 种颜色就能完成。当染到点 ${displaystyle uin S_{i}(ineq 0)}$ ${displaystyle uin S_{i}(ineq 0)}$ 时， ${displaystyle u}$ $u$ 在 ${displaystyle S_{i-1}}$ ${displaystyle S_{i-1}}$ 中至少有一个邻居，所以 ${displaystyle u}$ $u$ 邻居中至多只有 ${displaystyle k-1}$ $k-1$ 个被染色过，所以能对 ${displaystyle u}$ $u$ 进行染色。

当染点 ${displaystyle v_{0}}$ $v_0$ 的时候，由于 ${displaystyle d(v_{0})<k}$ ${displaystyle d(v_{0})<k}$ ， ${displaystyle v_{0}}$ $v_0$ 邻居中至多只有 ${displaystyle k-1}$ $k-1$ 个被染色过，所以同样能对 ${displaystyle v_{0}}$ $v_0$ 进行染色。所以用 ${displaystyle k}$ $k$ 种颜色对 ${displaystyle G}$ $G$ 恰当染色。

假设割点为 ${displaystyle u}$ $u$ ，那么 ${displaystyle G'=G-{u}}$ ${displaystyle G'=G-{u}}$ 就不是连通图，设 ${displaystyle G'}$ $G'$ 有 ${displaystyle t}$ $t$ 个连通分量 ${displaystyle G_{1},G_{2},dots ,G_{t}}$ ${displaystyle G_{1},G_{2},dots ,G_{t}}$ 。对于任意一个连通分支 ${displaystyle G_{i}}$ $G_{i}$ ，考虑 ${displaystyle H_{i}=G_{i}cup {u}}$ ${displaystyle H_{i}=G_{i}cup {u}}$ 。由于 ${displaystyle u}$ $u$ 在 ${displaystyle H_{i}}$ $H_{i}$ 的度数小于 ${displaystyle k}$ $k$ ， ${displaystyle Delta (H_{i})<k}$ ${displaystyle Delta (H_{i})<k}$ 。由前述贪心染色算法可知， ${displaystyle H_{i}}$ $H_{i}$ 可染 ${displaystyle k}$ $k$ 色。然后只需令这些染色方案中 ${displaystyle u}$ $u$ 所染的颜色一样（如果不一样，将所有点染的颜色重新排列一下），就能拼成 ${displaystyle G}$ $G$ 的染色方案，所以可用 ${displaystyle k}$ $k$ 种颜色对 ${displaystyle G}$ $G$ 恰当染色。

由于 ${displaystyle G}$ $G$ 中没有割点， ${displaystyle G}$ $G$ 是2连通图（英语：Biconnected graph）。断言可以找到一个顶点 ${displaystyle u}$ $u$ ，使得它有两个邻点 ${displaystyle v_{1},v_{2}}$ ${displaystyle v_{1},v_{2}}$ ，满足 ${displaystyle v_{1},v_{2}}$ ${displaystyle v_{1},v_{2}}$ 不相邻，且 ${displaystyle G-{v_{1},v_{2}}}$ ${displaystyle G-{v_{1},v_{2}}}$ 连通。如果这样的 ${displaystyle u,v_{1},v_{2}}$ ${displaystyle u,v_{1},v_{2}}$ 存在，就可以先将 ${displaystyle v_{1},v_{2}}$ ${displaystyle v_{1},v_{2}}$ 染成同色，然后贪心地为其他点染色，使 ${displaystyle u}$ $u$ 最后染。这样贪心染法衹用不超过 ${displaystyle k}$ $k$ 种色，因为除 ${displaystyle u}$ $u$ 之外的点，只有小于等于 ${displaystyle k-1}$ $k-1$ 个邻点排在它前面，而 ${displaystyle u}$ $u$ 又有两个邻点 ${displaystyle v_{1},v_{2}}$ ${displaystyle v_{1},v_{2}}$ 同色，故 ${displaystyle u}$ $u$ 的邻域衹用前 ${displaystyle k-1}$ $k-1$ 种色，尚有余下颜色可用。以下说明为何有此种 ${displaystyle u,v_{1},v_{2}}$ ${displaystyle u,v_{1},v_{2}}$ 。

如果 ${displaystyle G}$ $G$ 是3连通的，则可以选取距离为2的两点 ${displaystyle v_{1},v_{2}}$ ${displaystyle v_{1},v_{2}}$ （因为 ${displaystyle G}$ $G$ 不是完全图），及其公共邻点 ${displaystyle u}$ $u$ 。如此有 ${displaystyle v_{1}v_{2}notin E(G)}$ ${displaystyle v_{1}v_{2}notin E(G)}$ ，又由于 ${displaystyle G}$ $G$ 是3连通的， ${displaystyle G-{v_{1},v_{2}}}$ ${displaystyle G-{v_{1},v_{2}}}$ 是连通图，即为所求。

仅剩 ${displaystyle G}$ $G$ 是2连通但不是3连通的情况。此时有顶点 ${displaystyle u}$ $u$ 使 ${displaystyle G-u}$ ${displaystyle G-u}$ 仅为1连通，考虑 ${displaystyle G-u}$ ${displaystyle G-u}$ 各个双连通分支（英语：biconnected component），之间以割点连接，组成一棵树。因为 ${displaystyle G-u}$ ${displaystyle G-u}$ 不是2连通，该树至少有两个叶区块（leaf block），设为 ${displaystyle B_{1},B_{2}}$ ${displaystyle B_{1},B_{2}}$ 。又因为 ${displaystyle G}$ $G$ 无割点，所以 ${displaystyle G-u}$ ${displaystyle G-u}$ 的每一个叶区块中，必有某个非割点与 ${displaystyle u}$ $u$ 相邻。于是，可以在 ${displaystyle B_{1},B_{2}}$ ${displaystyle B_{1},B_{2}}$ 中各取 ${displaystyle u}$ $u$ 的邻点 ${displaystyle v_{1},v_{2}}$ ${displaystyle v_{1},v_{2}}$ ，使 ${displaystyle v_{1},v_{2}}$ ${displaystyle v_{1},v_{2}}$ 不是 ${displaystyle G-u}$ ${displaystyle G-u}$ 的割点。如此， ${displaystyle v_{1},v_{2}}$ ${displaystyle v_{1},v_{2}}$ 不相邻（否则 ${displaystyle B_{1},B_{2}}$ ${displaystyle B_{1},B_{2}}$ 属同一双连通分支），且 ${displaystyle G-{u,v_{1},v_{2}}}$ ${displaystyle G-{u,v_{1},v_{2}}}$ 连通。因为 ${displaystyle kgeq 3}$ ${displaystyle kgeq 3}$ ，所以 ${displaystyle G-{v_{1},v_{2}}}$ ${displaystyle G-{v_{1},v_{2}}}$ 连通。证毕。

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