重复控制

重复控制是一种基本内模原理的简单学习控制，于1980年代日本的研究小组提出。由于其在周期性重复操作中能有效提高控制精度，近年来获得了较多关注。

1980年代，日本研究人员在研究质子同步加速器和环电流控制系统时，尝试时了当时已有的多种方法，均没能取得理想的精度。后来，他们从工人进行重复性劳动，会不断修正，从而提高精度中获得灵感，提出了重复控制这一概念。

从右图可以看出，基本重复控制系统包括三部分：重复补偿器（Repetitive Compensator），控制对象(Plant)()，以及稳定化补偿器(Stabilization Compensator)(). 与一般控制系统比较，其最明显的特点是，增加了重复补偿器这一部分，这也是重复控制器能够在周期性控制过程中获得高精度的原因。

重复补偿器的传递函数可以写为

${\displaystyle C_R(s)=\frac{1}{e^{Ls}-<!--\; -\; -->1}}$

其中，L为周期信号的周期。

同时，我们知道，谐波为 ${\displaystyle \sin <!--\; \; -->(2k\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}t/L)}$的信号可以由极点为

${\displaystyle \frac{1}{s},\frac{-<!--\; -\; -->j2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}k/L}{s+j2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}k/L},\frac{-<!--\; -\; -->j2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}k/L}{s+j2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}k/L},k=1,2,\dots <!--\; \dots \; -->}$

的发生器产生。将以上极点相乘，可以得到：

${\displaystyle C_R(s)=\frac{1}{s}\underset{k=1}{\overset{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}{\prod <!--\; \prod \; -->}}\frac{{(2k\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/L)}^2}{s^2+{(2k\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/L)}^2}}$

可以证明：

${\displaystyle C_R(s)=L{\mathrm{e}}^{-<!--\; -\; -->Ls/2}\frac{1}{1-<!--\; -\; -->{\mathrm{e}}^{-<!--\; -\; -->Ls}}}$

忽略上式中纯时滞部分，可以看到，上式包含了所有的极点。