线图

✍ dations ◷ 2025-08-25 15:39:06 #线图

在图论中，图 ${displaystyle G}$ $G$ 所对应的线图是一张能够反映 ${displaystyle G}$ $G$ 中各边邻接性的图，记作 ${displaystyle L(G)}$ $L(G)$ 。简单来说， ${displaystyle L(G)}$ $L(G)$ 将 ${displaystyle G}$ $G$ 中的每条边各自抽象成一个顶点；如若原图中两条边相邻，那么就给线图中对应顶点之间连接一条边。因为线图将原图的边化作了顶点，所以也可以将其视作原图的一种对偶。

哈斯勒·惠特尼证明了：假定图 ${displaystyle G}$ $G$ 是连通的，那么除了一种特殊情况外，我们总能根据线图 ${displaystyle L(G)}$ $L(G)$ 的结构还原出 ${displaystyle G}$ $G$ 的结构。以该定理为中介，可以证明线图的许多其它性质。线图总是无爪图，即线图的所有导出子图均不是 ${displaystyle K_{1,3}}$ ${displaystyle K_{1,3}}$ 。

图 ${displaystyle G}$ $G$ 的线图 ${displaystyle L(G)}$ $L(G)$ 定义如下：

该定义也可以用图论的语言表述如下：设 ${displaystyle G=(V,E)}$ $G = (V,E)$ ，那么 ${displaystyle L(G)=(E,{tilde {E}})}$ ${displaystyle L(G)=(E,{tilde {E}})}$ ，且 ${displaystyle (e_{1},e_{2})in {tilde {E}}iff e_{1}cap e_{2}neq emptyset }$ ${displaystyle (e_{1},e_{2})in {tilde {E}}iff e_{1}cap e_{2}neq emptyset }$ 。

下面的例子演示了由原图生成线图的流程。

原图

制作线图的过程

结果

根据线图的定义，若性质／概念P仅取决于原图 ${displaystyle G}$ $G$ 中边的邻接性，那么P便可以转移（或者说对偶）到线图 ${displaystyle L(G)}$ $L(G)$ 上去变成性质／概念P'，刻画线图顶点的邻接属性。例如，图 ${displaystyle G}$ $G$ 中的一个匹配指的是图中一组不相交的边，把这一概念平移到线图上去，就等价于线图的一组不相邻的顶点——用术语来说即线图上的一个独立集。

下面就列举了原图和线图之间的若干联系：

惠特尼同构定理阐述了以下事实：设有连通图 ${displaystyle G_{1}}$ $G_1$ 和 ${displaystyle G_{2}}$ $G_{2}$ 且它们均不是三角形 ${displaystyle K_{3}}$ $K_{3}$ 或爪形 ${displaystyle K_{1,3}}$ ${displaystyle K_{1,3}}$ 。如果 ${displaystyle L(G_{1})cong L(G_{2})}$ ${displaystyle L(G_{1})cong L(G_{2})}$ ，那么 ${displaystyle G_{1}cong G_{2}}$ ${displaystyle G_{1}cong G_{2}}$ 。也就是说，除了极特殊的情形，图 ${displaystyle G}$ $G$ 的结构可以由线图 ${displaystyle L(G)}$ $L(G)$ 的结构中唯一地恢复出来。

任何的线图都是无爪的，亦即不包含 ${displaystyle K_{1,3}}$ ${displaystyle K_{1,3}}$ 作为导出子图。因此，任意含有偶数个顶点的连通线图都存在完美匹配。

线图 ${displaystyle L(G)}$ $L(G)$ 的邻接矩阵 ${displaystyle A_{mtimes m}}$ ${displaystyle A_{mtimes m}}$ 的全部特征值都不小于-2。这是因为 ${displaystyle A=J^{operatorname {T} }J-2I}$ ${displaystyle A=J^{operatorname {T} }J-2I}$ ，其中 ${displaystyle J_{ntimes m}}$ ${displaystyle J_{ntimes m}}$ 是原图 ${displaystyle G}$ $G$ 的关联矩阵（incidence matrix）。又由于矩阵 ${displaystyle J^{operatorname {T} }J}$ ${displaystyle J^{operatorname {T} }J}$ 是半正定的，所以 ${displaystyle A}$ $A$ 的任何特征值 ${displaystyle lambda }$ $lambda$ 均满足 ${displaystyle lambda +2geq 0}$ ${displaystyle lambda +2geq 0}$ 。

Beineke给出了线图的一种等价刻画： ${displaystyle H}$ $H$ 是某图的线图当且仅当 ${displaystyle H}$ $H$ 不包含九种类型的导出子图（见右图）。

如果 ${displaystyle H}$ $H$ 的最小度至少为5，那么只有左边一列和右边一列是必要的。换言之，此时， ${displaystyle H}$ $H$ 是某图的线图当且仅当 ${displaystyle H}$ $H$ 不包含六种类型的导出子图（见右图的左边一列和右边一列）。

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