吸引子

吸引子(attractor)是微积分和系统科学论中的一个概念。一个系统有朝某个稳态发展的趋势，这个稳态就叫做吸引子。吸引子分为平庸吸引子和奇异吸引子。

例如一个钟摆系统，它有一个平庸吸引子，这个吸引子使钟摆系统向停止晃动的稳态发展。

平庸吸引子有不动点（平衡）、极限环（周期运动）和整数维环面（概周期运动）三种模式。而不属于平庸的吸引子的都称为奇异吸引子，它表现了混沌系统中非周期性，无序的系统状态，例如天气系统。

对于吸引子，学术上并没有完善的定义，目前仅处于概念阶段。吸引子中的奇异吸引子对于混沌系统的研究意义重大。

设${\displaystyle t}$代表时间、${\displaystyle f(t,\cdot <!--\; \cdot \; -->)}$是用来确定动态系统状态的函数。也就是说，如果${\displaystyle a}$是${\displaystyle n}$维相空间的一个点，代表系统的初始状态，则${\displaystyle f(0,a)=a}$且对每个正实数${\displaystyle t}$有${\displaystyle f(t,a)}$代表经过${\displaystyle t}$单位时间后的状态。举例来说，如果一系统描述一维上某不受力粒子的演进，此时相空间是平面${\displaystyle {\mathbb{R}}^2}$，其坐标${\displaystyle (x,v)}$中的${\displaystyle x}$是粒子的位置，${\displaystyle v}$是粒子的速度。那么就有

而吸引子是相空间中的子集${\displaystyle A}$，并有以下几个特征：

吸引子还有许多其它种的定义，例如有些作者要求吸引子有正的测度（以避免吸引子中只有一个点），但其他作者只要求${\displaystyle B(A)}$是邻域。

吸引子是动态系统中相空间的子集。在公元1960年代前，吸引子仍被认为有“简单的”几何形状，例如点、直线、平面等。但吸引子的形状事实上可能相当复杂， 斯梅尔证明其马蹄映射的吸引子有康托尔集的结构。

两种简单的吸引子是不动点和极限环。也有的吸引子无法使用基本的几何物件的组合来描述，那么他就被称作奇异吸引子。

一个吸引子被称为奇异（strange）如果他具有分形结构，这常常出现在动态系统是混乱的时，但奇异非混乱吸引子也是存在的。

若一奇异吸引子是混沌的，则其对初始条件敏感。也就是任意两个极为接近的初始点，在一定数量的迭代运算后，两者可以相距甚远；也可以再经过一定数量的迭代运算后又变得极为靠近。也因此，一个具有混沌吸引子的动态系统在局域是不稳定的，然而广域来看却可以是稳定的，因为这些动态点再怎么彼此分离，也都不会离开吸引子。

奇异吸引子这个词最早是由吕埃勒与Floris Takens（英语：Floris Takens）所命名，用以描述流体系统经一连串分岔所产生的吸引子结果。

奇异吸引子在一些方向上常是可微的，但一些例子则如同康托尘则不可微。奇异吸引子亦可出现在有噪声的场合。

奇异吸引子的例子包括多卷波混沌吸引子、艾侬吸引子、热斯勒吸引子，以及洛伦茨吸引子。