伸展树（英语：Splay Tree）是一种能够自我平衡的二叉查找树，它能在均摊被访问过后，伸展操作会将移动到根节点。为了进行伸展操作，我们会进行一系列的旋转，每次旋转会使离根节点更近。通过每次访问节点后的伸展操作，最近访问的节点都会离根节点更近，且伸展树也会大致平衡，这样我们就可以得到期望均摊时间复杂度的下界——均摊的儿子为是很重要的。如果为空，那么显然就是根节点了。
共有三种旋转操作，每种都有左旋（Zig）和右旋（Zag）两种情况。为了简单起见，对每种旋转操作只展示一种情况。这些旋转操作是：
Zig：当为根节点时进行。Zig通常只在伸展操作的最后一步进行。
Zig-zig和Zag-zag：当不为根节点且和都为左儿子或都为右儿子时进行。下图为和都为左儿子时的情况（即Zig-zig），需先将右旋到的位置，再将右旋到的位置。
Zig-zag和Zag-zig：当不为根节点且为左儿子而为右儿子时进行，反之亦然。下图为前述情况（即Zig-zag），需先将左旋到到的位置，再将右旋到的位置。
给出两棵树S和T，且S的所有元素都比T的元素要小。下面的步骤可以把它们连接成一棵树：
给出一棵树和一个元素，返回两棵树：一棵中所有的元素均小于等于x，另一棵中所有的元素大于。下面的步骤可以完成这个操作：
插入操作是一个比较复杂的过程，具体步骤如下:我们假定要插入的值为k。
如果当前树为空，则直接插入根。
如果当前节点的权值等于k则增加当前节点的大小并更新节点和父亲的信息，将当前节点进行splay操作。
否则按照二叉查找树的性质向下找，找到空节点就插入即可，当然在最后还要进行一次splay操作。
如同一般的查找树的查找方式。
以下是伸展树的C++实现（用指针实现）
#include <functional>#ifndef SPLAY_TREE#define SPLAY_TREEtemplate< typename T, typename Comp = std::less< T > >class splay_tree {private: Comp comp; unsigned long p_size; struct node { node *left, *right; node *parent; T key; node( const T& init = T( ) ) : left( 0 ), right( 0 ), parent( 0 ), key( init ) { } } *root; void left_rotate( node *x ) { node *y = x->right; x->right = y->left; if( y->left ) y->left->parent = x; y->parent = x->parent; if( x->parent ) { if( x == x->parent->left ) x->parent->left = y; else x->parent->right = y; } y->left = x; x->parent = y; } void right_rotate( node *x ) { node *y = x->left; x->left = y->right; if( y->right ) y->right->parent = x; y->parent = x->parent; if( x->parent ) { if( x == x->parent->left ) x->parent->left = y; else x->parent->right = y; } y->right = x; x->parent = y; } void splay( node *x ) { while( x->parent ) { if( !x->parent->parent ) { if( x->parent->left == x ) right_rotate( x->parent ); else left_rotate( x->parent ); } else if( x->parent->left == x && x->parent->parent->left == x->parent ) { right_rotate( x->parent->parent ); right_rotate( x->parent ); } else if( x->parent->right == x && x->parent->parent->right == x->parent ) { left_rotate( x->parent->parent ); left_rotate( x->parent ); } else if( x->parent->left == x && x->parent->parent->right == x->parent ) { right_rotate( x->parent ); left_rotate( x->parent ); } else { left_rotate( x->parent ); right_rotate( x->parent ); } } } void replace( node *u, node *v ) { if( !u->parent ) root = v; else if( u == u->parent->left ) u->parent->left = v; else u->parent->right = v; if( v ) v->parent = u->parent; } node* subtree_minimum( node *u ) { while( u->left ) u = u->left; return u; } node* subtree_maximum( node *u ) { while( u->right ) u = u->right; return u; }public: splay_tree( ) : root( 0 ), p_size( 0 ) { } void insert( const T &key ) { node *z = root; node *p = 0; while( z ) { p = z; if( comp( z->key, key ) ) z = z->right; else z = z->left; } z = new node( key ); z->parent = p; if( !p ) root = z; else if( comp( p->key, z->key ) ) p->right = z; else p->left = z; splay( z ); p_size++; } node* find( const T &key ) { node *z = root; while( z ) { if( comp( z->key, key ) ) z = z->right; else if( comp( key, z->key ) ) z = z->left; else return z; } return 0; } void erase( const T &key ) { node *z = find( key ); if( !z ) return; splay( z ); if( !z->left ) replace( z, z->right ); else if( !z->right ) replace( z, z->left ); else { node *y = subtree_minimum( z->right ); if( y->parent != z ) { replace( y, y->right ); y->right = z->right; y->right->parent = y; } replace( z, y ); y->left = z->left; y->left->parent = y; } p_size--; } const T& minimum( ) { return subtree_minimum( root )->key; } const T& maximum( ) { return subtree_maximum( root )->key; } bool empty( ) const { return root == 0; } unsigned long size( ) const { return p_size; }};#endif // SPLAY_TREE
