素数公式

质数公式，又称素数公式，在数学领域中，表示一种能够仅产生素数（素数）的公式。即是说，这个公式能够一个不漏地产生所有的素数，并且对每个输入的值，此公式产生的结果都是素数。由于素数的个数是可数的，因此一般假设输入的值是自然数集（或整数集及其它可数集）。迄今为止，人们尚未找到易于计算且符合上述条件的素数公式，但对于素数公式应该具备的性质已经有了大量的研究。

可以证明，一个整系数多项式()，如果不是常数函数的话，不会是一个素数公式。证明很简单：假设这样的一个多项式()存在。那么(1)将是一个素数。接下来考虑${\displaystyle P(1+kp)}$，我们有${\displaystyle P(1+kp)\equiv <!--\; \equiv \; -->0(\mathrm{mod}p)}$的倍数，但已然假设${\displaystyle P}$，${\displaystyle 1+kp}$() - 的一个根。但根据代数基本定理，一个非零的整系数多项式不可能有无穷多个根。故此，()只能是常数函数。

应用代数数理论，可以证明更强的结果：不存在能够对几乎所有自然数输入，都能产生素数的非常数的多项式()。

欧拉在1772年发现，对于小于40的所有自然数，多项式

的值都是素数。对于前几个自然数 = 0, 1, 2, 3...，多项式的值是41, 43, 47, 53, 61, 71...。当等于40时，多项式的值是1681=41×41，是一个合数。实际上，当能被41整除的时候，()也能被41整除，因而是合数。这个公式和所谓的素数螺旋有关，也和黑格纳数${\displaystyle 163=4\cdot <!--\; \cdot \; -->41-<!--\; -\; -->1}$和， 线性函数${\displaystyle L(n)=an+b}$，都存在着整数对, ，使得对于每个0与−1之间的，${\displaystyle L(n)=an+b}$，找出和是很困难的。目前最好的结果是对于 = 26，

一个很著名的素数公式是以下的有26个未知数的由14个方程组成的丢番图方程组Jones et al.（1976）：

对于这个方程组的所有正整数解：(a,b,...,z)， + 2都是素数。可以把这个公式改写成多项式的形式：将14个等式记作p₁，p₂，……，p₁₄，那么可以说，多项式${\displaystyle (k+2)(1-<!--\; -\; -->p_1^2-<!--\; -\; -->p_2^2-<!--\; -\; -->\cdots <!--\; \cdots \; -->-<!--\; -\; -->p_{14}^2)}$个素数的表达式：

第一个带高斯函数的素数公式由W. H. Mills在1947年构造。他证明了存在实数使得数列

中的每个数都是素数。最小的称为米尔斯常数，如果黎曼猜想成立，它的值大约为：${\displaystyle A\approx <!--\; \approx \; -->1.30637788386308069046\dots <!--\; \dots \; -->}$的性质所知甚少，甚至不知道是否为有理数。而且，除了用素数值逼近外，没有其他计算的方法。

使用威尔逊定理，可以建立一些其他的素数公式。以下的公式也没有什么实际价值，大多数的素性测试都比它远为有效。

我们定义

或者

这两种定义是等价的。π（）就是小于的素数个数。于是，我们可以定义第个素数如下：

这个例子没有用到阶乘和威尔逊定理，但也大量应用了高斯函数（S. M. Ruiz 2000）。首先定义：

然后就有第个素数的表达式：

另外一个素数公式由以下递推关系组成的数列，其前后项的差来定义：

其中gcd(, )表示和的最大公约数。这个数列的开始几项a_n+1 - a_n是1, 1, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 11, 3, 1, 1 （OEIS中的数列A132199）。Rowlands (2008)证明了这个数列只含有一和素数。

其中，素数2出现无限多次，其余的素数恰好出现一次。实际上，当是素数的时候，由威尔逊定理，${\displaystyle 2n!(\mathrm{mod}n+1)}$，于是${\displaystyle f(n)=p}$是合数的时候，${\displaystyle 2n!(\mathrm{mod}n+1)}$等于0，于是得到2。