虚功

在分析力学里，施加于某物体的作用力，由于给定的虚位移，所做的机械功，称为虚功（英语：virtual work）。以方程表达，虚功 δ W {displaystyle delta W} 是其中， F {displaystyle mathbf {F} } 是作用力， δ r {displaystyle delta mathbf {r} } 是虚位移。在这篇文章里，位移指的是平移运动所造成的位移或旋转运动所造成的角位移；作用力指的是力量或力矩。虚位移不是实际的位移，而是一种虚构的、理论上的位移，是一种只涉及位置，不涉及时间的变化。每一个虚位移既是自变量（independent variable），又是任意设定的。任意性是一个很重要的特性，在数学关系式里，能够推导出许多重要的结果。例如，思考下述矩阵方程：其中， R ,   r ,   q {displaystyle mathbf {R} , mathbf {r} , mathbf {q} } 都是矢量， B {displaystyle mathbf {B} } 是方块矩阵。假若， R {displaystyle mathbf {R} } 是个任意非零矢量，则可以将任意项目 R {displaystyle mathbf {R} } 从方程中除去，得到 r = B q {displaystyle mathbf {r} =mathbf {B} mathbf {q} } 。虚功原理阐明，一个物理系统处于静态平衡（static equilibrium），当且仅当，所有施加的外力，经过符合约束条件的虚位移，所做的虚功的总和等于零。以方程表达，考虑一个由一群质点组成，呈静态平衡的物理系统，其内部任意一个质点 P i {displaystyle P_{i}} 可能感受到很多个作用力。这些作用力的总和 F i ( T ) {displaystyle mathbf {F} _{i}^{(T)}} 等于零：给予这质点 P i {displaystyle P_{i}} 虚位移 δ r i {displaystyle delta mathbf {r} _{i}} ，则合力 F i ( T ) {displaystyle mathbf {F} _{i}^{(T)}} 所做的虚功 δ W i {displaystyle delta W_{i}} 为零：总合这系统内做于每一个质点的虚功，其答案也是零：将合力细分为外力 F i {displaystyle mathbf {F} _{i}} 与约束力 C i {displaystyle mathbf {C} _{i}} ：假设所有约束力所做的符合约束条件的虚功，其总合是零：则约束力项目可以从方程中除去，从而得到虚功原理的方程：注意到这推论里的约束力假设。在这里，约束力就是牛顿第三定律的反作用力。因此，可以称此假设为反作用力的虚功假设：所有反作用力所做的符合约束条件的虚功，其总合是零。这是分析力学额外设立的假设，无法从牛顿运动定律推导出来。在动力学里，虚功原理会被推广为达朗贝尔原理。这原理是拉格朗日力学的理论基础。更详尽细节，请参阅相关条目。在此特别列出几个案例，展示出约束力所做的符合约束条件的虚功的总合是零：将一般的作用力和坐标分别变换为以广义力 F i {displaystyle {mathcal {F}}_{i}} 和广义坐标 q i {displaystyle q_{i}} 表达，设定一个 N {displaystyle N} 维位形空间，其坐标为 ( q 1 , q 2 , … , q N ) {displaystyle (q_{1},q_{2},dots ,q_{N})} ，其内中表示位置的点称为位形点。想像这物理系统移动于这位形空间。在这位形空间里，广义力 F = ( F 1 , F 2 , … , F N ) {displaystyle {boldsymbol {mathcal {F}}}=(F_{1},F_{2},dots ,F_{N})} 垂直于符合约束条件的虚位移 δ q = ( δ q 1 , δ q 2 , … , δ q N ) {displaystyle delta mathbf {q} =(delta q_{1},delta q_{2},dots ,delta q_{N})} 。假设，这物理系统没有任何约束条件，则虚位移可以是任意矢量。但是，广义力 F {displaystyle {boldsymbol {mathcal {F}}}} 不可能垂直于 N {displaystyle N} 维位形空间里的每一个矢量，所以，广义力 F {displaystyle {boldsymbol {mathcal {F}}}} 必须等于零。假设，这物理系统有 L {displaystyle L} 个约束条件，则自由度为 N − L {displaystyle N-L} ，位形点必需处于位形空间的某 N − L {displaystyle N-L} 维子空间，而广义力 F {displaystyle {boldsymbol {mathcal {F}}}} 必须垂直于这子空间，因此必需使用 N − L {displaystyle N-L} 个运动方程来表达这物理系统。假设这系统是保守系统，则每一个广义力都是标量的广义位势函数 V ( q 1 , q 2 , … , q N ) {displaystyle V(q_{1},q_{2},dots ,q_{N})} 的对于其对应的广义坐标的负偏导数：虚功与广义位势的关系为由于位势的变分 δ V {displaystyle delta V} 等于零，一个静态平衡系统的位势 V {displaystyle V} 乃是个局域平稳值。注意到这系统只处于平稳状态。假设，要求这系统处于稳定状态，则位势 V {displaystyle V} 必须是个局域极小值。