代数几何与解析几何

在数学中，代数几何与解析几何是两个关系密切的学科。代数几何研究代数簇，在复数域上，同时也能以复分析及微分几何的技术研究代数簇。让-皮埃尔·塞尔在1956年的同名论文中比较了这两种观点。在 SGA 第一册附录中，则以概形论的语言重新表述。

给定一个 ${\displaystyle \mathbb{C}}$ 上的局部有限型概形 ${\displaystyle X}$，可以考虑相应的复解析空间 ${\displaystyle X^{\mathrm{a}\mathrm{n}}}$。此对应 ${\displaystyle X\mapsto <!--\; \mapsto \; -->X^{\mathrm{a}\mathrm{n}}}$ 定义一个从局部有限型概形范畴到复解析空间范畴的函子。对任一 ${\displaystyle {\mathcal{O}}_X}$-模 ${\displaystyle F}$，同样可考虑相应的 ${\displaystyle {\mathcal{O}}_{X^{\mathrm{a}\mathrm{n}}}}$-模 ${\displaystyle F^{\mathrm{a}\mathrm{n}}}$，这也给出相应的函子。可以证明 ${\displaystyle F\mapsto <!--\; \mapsto \; -->F^{\mathrm{a}\mathrm{n}}}$ 是一个正合、忠实且保守的函子。

论证中用到的关键性质是：${\displaystyle {\mathcal{O}}_X}$ 是平坦的 ${\displaystyle {\mathcal{O}}_{X^{\mathrm{a}\mathrm{n}}}}$-模。

设 ${\displaystyle T\subset <!--\; \subset \; -->X}$ 为一局部可构子集（即：局部闭集的有限并集），以下 ${\displaystyle T}$ 的性质在 ${\displaystyle X}$ 中成立，当且仅当在 ${\displaystyle X^{\mathrm{a}\mathrm{n}}}$ 中成立：

当 ${\displaystyle X}$ 为有限型态射时，对于 ${\displaystyle X}$ 及 ${\displaystyle X^{\mathrm{a}\mathrm{n}}}$ 本身，下述性质也是相通的：

以下性质对 ${\displaystyle X}$ 成立，当且仅当对 ${\displaystyle X^{\mathrm{a}\mathrm{n}}}$ 成立：

设 ${\displaystyle f:X\to <!--\; \to \; -->Y}$ 为概形的态射， ${\displaystyle f^{\mathrm{a}\mathrm{n}}:X^{\mathrm{a}\mathrm{n}}\to <!--\; \to \; -->Y^{\mathrm{a}\mathrm{n}}}$ 为复解析空间的相应态射，则下述性质对 ${\displaystyle f}$ 成立当且仅当对 ${\displaystyle f^{\mathrm{a}\mathrm{n}}}$ 成立：

若再要求 ${\displaystyle f}$ 是有限型态射，则可再加入下述性质：

以下假设 ${\displaystyle f:X\to <!--\; \to \; -->Y}$ 是真态射，对任一个凝聚 ${\displaystyle {\mathcal{O}}_X}$-模 ${\displaystyle F}$，有自然同构：

当 ${\displaystyle Y=\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathbb{C}}$ 时，遂有层上同调的比较定理：

此时 ${\displaystyle F\mapsto <!--\; \mapsto \; -->F^{\mathrm{a}\mathrm{n}}}$ 给出范畴的等价。

黎曼存在性定理则断言：若 ${\displaystyle X}$ 是 ${\displaystyle \mathbb{C}}$-上的局部有限型概形，且 ${\displaystyle {\mathcal{X}}^{\prime }\to <!--\; \to \; -->X^{\mathrm{a}\mathrm{n}}}$ 是复解析空间的有限平展覆盖，则存在 ${\displaystyle \mathbb{C}}$-概形 ${\displaystyle X^{\prime }}$ 及平展态射 ${\displaystyle X^{\prime }\to <!--\; \to \; -->X}$，使得 ${\displaystyle X^{\prime \mathrm{a}\mathrm{n}}\sim <!--\; \sim \; -->{\mathcal{X}}^{\prime }}$。此外，函子 ${\displaystyle X^{\prime }\mapsto <!--\; \mapsto \; -->X^{\prime \mathrm{a}\mathrm{n}}}$ 给出从【${\displaystyle X}$ 的有限平展覆盖】到【${\displaystyle X^{\mathrm{a}\mathrm{n}}}$ 的有限平展覆盖】的范畴等价。

当 ${\displaystyle X}$ 为连通时，此定理的一个直接推论是代数基本群与拓扑基本群的比较定理：

其中 ${\displaystyle x_0\in <!--\; \in \; -->X(\mathbb{C})}$，而 ${\displaystyle \stackrel{^<!--\; ^\; -->}{{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(X^{\mathrm{a}\mathrm{n}},x_0)}}$ 表示代数基本群 ${\displaystyle {\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1(X^{\mathrm{a}\mathrm{n}},x_0)}$ 对有限指数子群的完备化。