乌鸦悖论

乌鸦悖论（英语：raven paradox），也叫做亨佩尔的乌鸦或亨佩尔悖论，是1940年代德国逻辑学家卡尔·亨普尔为了说明归纳法违反直觉而提出的一个悖论。

几千年以来，无数人观察了许多事务，比如地心引力法则，人们趋于相信其极可能是真理。这种类型的推理可以总结成“归纳法原理”：

亨佩尔给出了归纳法原理的一个例子： “所有乌鸦都是黑色的”论断。我们可以出去观察成千上万只乌鸦，然后发现他们都是黑的。在每一次观察之后，我们对“所有乌鸦都是黑的”的信任度会逐渐提高。归纳法原理在这里看起来合理的。

现在问题出现了。“所有乌鸦都是黑的” 的论断在逻辑上和“所有不是黑的东西不是乌鸦”等价。如果我们观察到一个红苹果，它不是黑的，也不是乌鸦，那么这次观察必会增加我们对“所有不是黑的东西不是乌鸦”的信任度，因此更加确信“所有的乌鸦都是黑的！”这个问题被总结成：

余未尝见有紫牛，
然苟余或遇其一，
则云乌鸦俱黑者，
岂其益发可信兮？

解决它和直觉的冲突，哲学家们提出了一些方法。美国逻辑学家纳尔逊·古德曼建议对我们的推理添加一些限制，比如永远不要考虑支持论断“所有P满足Q”且同时也支持“没有P满足Q” 的实例。

其他一些哲学家质疑“等价原理”。也许红苹果能够增加我们对论断“所有不是黑的东西不是乌鸦”的信任度，而不增加我们对 “所有乌鸦都是黑色的”信任。这个提议受到质疑，因为你不能对等价的两个命题有不同的信任度，如果你知道他们都是真的或都是假的。

古德曼，以及其后的威拉德·冯·奥曼·蒯因，使用术语“”来描述这些类似于“乌鸦”和“黑色”的命题，所有这类命题是支持归纳推理法的；而“非projectible predicate”则为与只相反的后者，如“非黑”和“非乌鸦”这些命题并不支持归纳推理法。蒯因还提出一个需要证实的猜想：如果任何命题是projectible的；在无限物件组成的全集中，一个projectible的命题的补集永远是非projectible的。

这样一来，虽然“所有乌鸦都是黑的”和“所有不是黑的东西都不是乌鸦”这两个命题所拥有的信任度必须相等，但只有“黑色的乌鸦”才能同时增加两者的信任度，而“非黑色的非乌鸦”并不增加任何一个命题的信任度。

还有些哲学家认为其实这个命题是完全正确的，出错的是我们自己的逻辑。其实观察到一个红色的苹果确实会增加乌鸦都是黑色的可能性！这就相当于：如果有人把宇宙中所有不是黑的物体都给你看，而你发现所有的物体都不是乌鸦，那你就完全可以断定所有乌鸦都是黑的了。这个“悖论”看上去荒谬只是因为宇宙中“不是黑的”物体远远多于“乌鸦”，所以发现一个“不是黑的”物体只增加了极其微小的对于“乌鸦都是黑的”的信任度，而相对而言，每发现一只黑的乌鸦就是一个有力的证据了。

除了以上的陈述以外，“归纳法原理”还有另一种形式，就是贝叶斯推理。

设 为支持论断 的一个实例，而 表示我们所有的已知信息。

${\displaystyle Pr(\bullet <!--\; \bullet \; -->|\circ <!--\; \circ \; -->)}$ 成立的几率，已知 和 都是成立的，可以推得，

这里 ${\displaystyle Pr(T|I)}$ 是已知成立的情况下， 成立的几率；${\displaystyle Pr(X|TI)}$ 和 都已知成立的情况下， 成立的几率；而 ${\displaystyle Pr(X|I)}$ 是已知成立的情况下， 成立的几率。

利用这个原理，这个悖论就不会出现了。如果有人随机选一个“苹果”，那么他看到一个红苹果的几率和“乌鸦”的颜色是完全没有关系的。这时分子等于分母，所以分数等于1，所以以上讨论的几率不会改变。所以看见一只红色的苹果不会增加人们对“乌鸦都是黑色的”的信任度。

而如果那人是随机选择一个非黑的“物件”，那个物件正好是一个红的苹果，那么我们会得到一个分子大于分母的，几乎等于一的假分数。所以在这个情况下，看见一只红苹果确实会极微小地增加我们对“乌鸦都是黑色的”的信任度。

其实，随着一个人看到的不是黑色的东西的增加（并发现其中没有乌鸦），“乌鸦都是黑色的”的几率会趋向于1。