电位移

在电磁学里，电位移是出现于麦克斯韦方程组的一种向量场，可以用来解释介电质内自由电荷所产生的效应。电位移${\displaystyle \mathbf{D}}$以方程定义为

其中，${\displaystyle {\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_0}$是电常数，${\displaystyle \mathbf{E}}$是电场，${\displaystyle \mathbf{P}}$是电极化强度。

高斯定律表明，电场的散度等于总电荷密度${\displaystyle {\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{total}}$除以电常数：

电极化强度的散度等于负束缚电荷密度${\displaystyle -<!--\; -\; -->{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{bound}}$：

而总电荷密度等于束缚电荷密度加上自由电荷密度${\displaystyle {\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{free}}$：

所以，电位移的散度等于自由电荷密度${\displaystyle {\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{free}}$：

这与高斯定律的方程类似。假设，只给定自由电荷密度${\displaystyle {\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{free}}$，或许可以用高斯方法来计算电位移${\displaystyle \mathbf{D}}$。但是，在这里，不能使用这方法。只知道自由电荷密度${\displaystyle {\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{free}}$，有时候仍旧无法计算出电位移。思考以下关系式：

假设电场为不含时电场（即与时间无关的电场），${\displaystyle \mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{E}=0}$，则

假若${\displaystyle \mathrm{\nabla <!--\; \nabla \; -->}\times <!--\; \times \; -->\mathbf{P}\ne <!--\; \ne \; -->0}$，则虽然设定${\displaystyle {\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}_{free}=0}$，电位移仍旧不等于零：${\displaystyle \mathbf{D}\ne <!--\; \ne \; -->0}$！

举例而言，拥有固定电极化强度${\displaystyle \mathbf{P}}$的永电体，其内部不含有任何自由电荷，但是内在的电极化强度${\displaystyle \mathbf{P}}$会产生电场。

只有当问题本身具有某种对称性，像球对称性或圆柱对称性等等，才能够直接使用高斯方法，从自由电荷密度计算出电位移与电场。否则，必需将电极化强度${\displaystyle \mathbf{P}}$和边界条件纳入考量。

“线性电介质”，对于外电场的施加，会产生线性响应。例如，铁电材料是非线性电介质。假设线性电介质具有各向同性，则其电场与电极化强度的关系式为

其中，${\displaystyle {\mathrm{\chi <!--\; \chi \; -->}}_e}$是电极化率。

将这关系式代入电位移的定义式，可以得到

其中，${\displaystyle \mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}$是电容率。

所以，电位移与电场成正比；其比率是电容率。另外，

假设这电介质具有均匀性，则电容率${\displaystyle \mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}$是常数：

定义相对电容率${\displaystyle {\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}_r}$为

相对电容率与电极化率有以下的关系：

要注意的一点是，上式${\displaystyle \mathbf{D}=\mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}\mathbf{E}}$的描述只是一种近似关系，当${\displaystyle \mathbf{E}}$变得很大时，${\displaystyle \mathbf{D}}$与${\displaystyle \mathbf{E}}$就不再成正比关系了。这主要是由于电介质物质的物理特性是很复杂的。也可以理解为，这个式子就像胡克定律一样，只是一种近似。

各向异性线性电介质的电容率是个张量。例如，晶体的电容率通常必需用张量来表示。

如右图所示，平行板电容器是由互相平行、以空间或电介质相隔的两片平板导体构成的电容器。假设上下两片平板导体分别含有负电荷与正电荷，含有的电荷量分别为${\displaystyle -<!--\; -\; -->Q}$、${\displaystyle +Q}$。又假设两片平板导体之间的间隔距离超小于平板的长度与宽度，则可以视这两片平板导体为无限平面；做简单计算时，不必顾虑边缘效应。由于系统的对称性，可以应用高斯定律来计算电位移，其方向必定是从带正电平板导体指向带负电平板导体，而且垂直于平板导体；又由于平板导体含有的电荷是自由电荷，不需要知道电介质的性质，就可以应用关于自由电荷的高斯定律来计算电位移。

先计算带正电平板导体所产生的电位移。试想一个扁长方形盒子，其顶面和底面分别在这平板导体的两边，平行于平板导体；而盒子的其它四个侧面都垂直于平板导体。根据关于自由电荷的高斯定律，

其中，${\displaystyle \mathbb{S}}$是扁长方形盒子的闭合表面，${\displaystyle {\mathbf{D}}_{+}}$是带正电平板导体所产生的电位移，${\displaystyle d\mathbf{a}}$是微小面元素。

由于扁长方形盒子的四个侧面的面向量都与${\displaystyle {\mathbf{D}}_{+}}$向量相垂直，它们对于积分的贡献是零；只有盒子的顶面和底面对于积分有贡献：

其中，${\displaystyle A}$是盒子顶面、底面的面积。

所以，${\displaystyle {\mathbf{D}}_{+}}$向量的方向是从带正电平板导体垂直地向外指出，大小为

类似地，可以计算出带负电平板导体所产生的电位移；${\displaystyle {\mathbf{D}}_{-<!--\; -\; -->}}$向量的方向是垂直地指向带负电平板导体，大小为

应用叠加原理，可以计算这两片带电平板导体一起产生的电位移。在这两片平板导体之间，${\displaystyle {\mathbf{D}}_{+}}$和${\displaystyle {\mathbf{D}}_{-<!--\; -\; -->}}$的方向相同；应用叠加原理，电位移的大小等于平板导体的表面电荷密度：${\displaystyle D=Q/A}$。在两片平板导体的共同上方或共同下方，${\displaystyle {\mathbf{D}}_{+}}$和${\displaystyle {\mathbf{D}}_{-<!--\; -\; -->}}$的方向相反；应用叠加原理，电位移的大小等于零。

假设电介质的电容率为${\displaystyle \mathrm{\epsilon <!--\; \epsilon \; -->}}$，则在两片平板导体之间，电场的大小为

假设两片平板导体的间隔距离为${\displaystyle d}$，则电压${\displaystyle V}$为

这平行板电容器的电容${\displaystyle C}$为