开尔文船波

开尔文船波（Kelvin Wake, Kelvin ship wave）。鸭子或船只在深水湖面经过时，在后面会激起一道V形的波。开尔文男爵最先对船波进行数学研究，因此称为开尔文船波。船波动形状和福禄数${\displaystyle Fr}$有密切关系。

${\displaystyle Fr=\frac{V}{\sqrt{gl}}}$

其中g为重力常数，V是船速，l是船的长度。

令船的长度${\displaystyle l=k\ast <!--\; \ast \; -->\frac{V^2}{g}}$则${\displaystyle Fr=\frac{1}{\sqrt{k}}}$.

对于长度大而速度低的轮船，Fr数小，开尔文船波主要是长波，其波前与速度矢量的夹角比较小。

而小快艇，长度小，速度高，Fr 数大，开尔文船波则以短波长的水波为主，而波前则与速度矢量成较大的夹角。

开尔文船波动研究，对于船舶的设计有重要意义，因为船舶的马力，有一部分消耗在激起船波。利用Fr数与速度成正比，与长度的平方根成反比的规律，可以利用小的模型，缩小船长${\displaystyle M^2}$倍，同时缩小速度M倍，可以在实验室中模拟海上舟。

当船只以速度V驶过深水湖面，波形的幅度在相对于船只为静止的极坐标（${\displaystyle \mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->},\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}$中在船只的速度矢量方向，${\displaystyle \mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}=0}$），由下列公式表示

${\displaystyle K(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->},\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->})={\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2}^{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/2}cos(\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\frac{cos(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})}{co{s}^2\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$

其中${\displaystyle \mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}=gr/V^2}$

${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}=\frac{V^2}{gr}}$是福禄数的平方${\displaystyle F{r}^2}$

${\displaystyle g}$为重力常数${\displaystyle l}$为船的长度。

上列K函数是下列多鞍点积分的正数部分：

${\displaystyle K(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->},\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->})=Re({\int <!--\; \int \; -->}_{-<!--\; -\; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}\exp <!--\; \; -->(i\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\ast <!--\; \ast \; -->f(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->})d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})}$其中，多鞍点积分的核函数为

${\displaystyle f(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})=-<!--\; -\; -->\frac{cos(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})}{co{s}^2\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}$

此核函数是一个多鞍点函数，振荡剧烈如图

求其极点，

${\displaystyle \frac{df(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})}{d\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}=\frac{sin(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})}{cos(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}{)}^2}-<!--\; -\; -->\frac{2\ast <!--\; \ast \; -->cos(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})\ast <!--\; \ast \; -->sin(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->})}{cos(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}{)}^3}=0}$

解之，得

${\displaystyle {\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_1=arctan(\frac{(1/4)\ast <!--\; \ast \; -->(1+\sqrt{(1-<!--\; -\; -->8\ast <!--\; \ast \; -->tan(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}{)}^2))}}{tan(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})})=-<!--\; -\; -->arctan(\frac{(1/4)\ast <!--\; \ast \; -->(-<!--\; -\; -->1+\sqrt{(}1-<!--\; -\; -->8\ast <!--\; \ast \; -->tan(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}{)}^2))}{tan(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})})}$

由此

${\displaystyle {\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_1=19.47}$度,

${\displaystyle {\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}}_2=-<!--\; -\; -->19.47}$度

这就是凯尔文船波的V型波包线的夹角，最早由凯尔文男爵发现，而且角度与船速无关.至于波纹本身则与船速矢量的夹角为

${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}=\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}-<!--\; -\; -->19.47=35.3}$°

开尔文船波积分${\displaystyle K(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->},\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->})}$必须通过数值积分计算。开尔文男爵根据被积分函数在积分区间内剧烈震荡的特点，提出了驻相法（Method of Stationary Phase）。

原理：当被积分函数剧烈震荡时，除了在极点外，震荡的被积分函数正负相抵消，因此可以将此被积分函数在极点的值作为整个积分的近似，驻相法乃是拉普拉斯方法的推广。

被积分函数${\displaystyle f(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})=-<!--\; -\; -->\frac{cos(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}+\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})}{co{s}^2\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}}$的两个极点是：

${\displaystyle {\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_p=arctan(\frac{(1/4)\ast <!--\; \ast \; -->(1+\sqrt{(1-<!--\; -\; -->8\ast <!--\; \ast \; -->tan(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}{)}^2))}}{tan(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})})}$

${\displaystyle {\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_m=-<!--\; -\; -->arctan(\frac{(1/4)\ast <!--\; \ast \; -->(-<!--\; -\; -->1+\sqrt{(}1-<!--\; -\; -->8\ast <!--\; \ast \; -->tan(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}{)}^2))}{tan(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})})}$

令

${\displaystyle f_m=f({\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_m,\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})=\frac{sin((1/2)\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}-<!--\; -\; -->(1/2)\ast <!--\; \ast \; -->arcsin(3\ast <!--\; \ast \; -->sin(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})))}{sin((1/2)\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}+(1/2)\ast <!--\; \ast \; -->arcsin(3\ast <!--\; \ast \; -->sin(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})))}}$

${\displaystyle f_p=f({\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_p,\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})=\frac{cos((1/2)\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}+(1/2)\ast <!--\; \ast \; -->arcsin(3\ast <!--\; \ast \; -->sin(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})))}{cos(-<!--\; -\; -->(1/2)\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->}+(1/2)\ast <!--\; \ast \; -->arcsin(3\ast <!--\; \ast \; -->sin(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})))}}$

${\displaystyle fbar:=1/2\ast <!--\; \ast \; -->(f_p+f_m)}$

${\displaystyle D2F=\frac{d^{2}F(\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->},\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})}{d{\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}^2}}$

${\displaystyle D2F_p=D2F({\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_p,\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})}$

${\displaystyle D2F_m=D2F({\mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}_m,\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->})}$

${\displaystyle \mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}:=(3/4\ast <!--\; \ast \; -->(f_m-<!--\; -\; -->f_p){)}^{(}2/3)}$

${\displaystyle u=\sqrt{\frac{{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}^{1/2}}{2}}\ast <!--\; \ast \; -->(\frac{1}{\sqrt{D2F_p}}+\frac{1}{\sqrt{-<!--\; -\; -->D2F_m}})}$

${\displaystyle v=\sqrt{\frac{2}{{\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->}}^{1/2}}}\ast <!--\; \ast \; -->(\frac{1}{\sqrt{D2F_p}}-<!--\; -\; -->\frac{1}{\sqrt{-<!--\; -\; -->D2F_m}})}$

${\displaystyle K(\mathrm{\varphi <!--\; \varphi \; -->},\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->})\approx <!--\; \approx \; -->2\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}\ast <!--\; \ast \; -->(u\ast <!--\; \ast \; -->cos(\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\ast <!--\; \ast \; -->fbar)\ast <!--\; \ast \; -->AiryAi(-<!--\; -\; -->{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^{(}2/3)\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->})/{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^{(}1/3)+v\ast <!--\; \ast \; -->sin(\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}\ast <!--\; \ast \; -->fbar)\ast <!--\; \ast \; -->AiryAi(1,-<!--\; -\; -->{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^{(}2/3)\ast <!--\; \ast \; -->\mathrm{\Delta <!--\; \Delta \; -->})/{\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}^{(}2/3))}$

开尔文船波的波峰，由下列两个参数方程式描述

${\displaystyle x:=X\ast <!--\; \ast \; -->sin(\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})\ast <!--\; \ast \; -->(1-<!--\; -\; -->(1/2)\ast <!--\; \ast \; -->sin(\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{)}^2)}$

${\displaystyle y:=X\ast <!--\; \ast \; -->sin(\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->}{)}^2\ast <!--\; \ast \; -->cos(\mathrm{\beta <!--\; \beta \; -->})/(2\ast <!--\; \ast \; -->M)}$