外微分

数学上，微分拓扑的外微分算子，把一个函数的微分的概念推广到更高阶的微分形式的微分。它在流形上的积分理论中极为重要，并且是德拉姆和Alexander-Spanier上同调中所使用的微分算子。其现代形式是由嘉当发明的。

一个阶的微分形式的外微分是一个+1阶的微分形式。

对于一个-形式ω = 在R上，其定义如下：

对于一般的-形式 Σ （其中多重指标取遍所有{1, ..., }的基数为的有序子集），我们只作了线性推广。注意如果上面有${\displaystyle i=I}$ 的核由组成，而其像由组成（参看）。

给定一个-形式和任意光滑向量场我们有

其中${\displaystyle }$: R→R，我们有

所以，对于向量场${\displaystyle V}$代表的梯度而

对于一个1-形式${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=\underset{i}{\sum <!--\; \sum \; -->}{f}_{i}d{x}_i}$代表的旋度×是向量积，而是标量积。

对于一个2-形式${\displaystyle \mathrm{\omega <!--\; \omega \; -->}=\underset{i,j}{\sum <!--\; \sum \; -->}{h}_{i,j}d{x}_i\wedge <!--\; \wedge \; -->d{x}_j,}$是一个向量场定义为${\displaystyle V=.}$我们有

这刚好就是在格林定理中被积分的2-形式。

向量微积分的恒等式：

与

皆是外微分第三性质——${\displaystyle d^2=0}$ 的特例。