勾股数

勾股数，又名商高数或毕氏数（Pythagorean triple），是由三个正整数组成的数组；能符合勾股定理（毕式定理）“${\displaystyle a^2+b^2=c^2}$”之中，${\displaystyle (a,b,c)}$的正整数解。而且，基于勾股定理的逆定理，任何边长是勾股数组的三角形都是直角三角形。

如果${\displaystyle (a,b,c)}$是勾股数，它们的正整数倍数，也是勾股数，即${\displaystyle (na,nb,nc)}$也是勾股数。若果${\displaystyle (a,b,c)}$三者互质（它们的最大公因数是 1），它们就称为素勾股数。

以下的方法可用来找出勾股数。设${\displaystyle m>n}$、${\displaystyle m}$和${\displaystyle n}$均是正整数，

若${\displaystyle m}$和${\displaystyle n}$是互质，而且${\displaystyle m}$和${\displaystyle n}$为一奇一偶，计算出来的${\displaystyle (a,b,c)}$就是素勾股数。（若${\displaystyle m}$和${\displaystyle n}$都是奇数，${\displaystyle (a,b,c)}$就会全是偶数，不符合互质。）

所有素勾股数可用上述列式当中找出，这亦可推论到数学上存在无穷多的素勾股数。

以下是小于 100 的素勾股数：

有些勾股数组可以有同一个最小的勾股数。第一个例子是 20 ，它在以下两组勾股数之中出现：${\displaystyle (20,21,29)}$与${\displaystyle (20,99,101)}$。

其中最先例子是5，它在以下两组勾股数之中出现${\displaystyle (3,4,5)}$及${\displaystyle (5,12,13)}$。

在 15,386 组素勾股数的 1229779565176982820 ，它的最小与最大的勾股数组是：

与

试考虑它的素因数分解

它素因数的个数涉及不少素勾股数。当然，数学上存在比它大的素勾股数。

若需要一组最小数为奇数的勾股数，可任意选取一个 3 或以上的奇数，将该数自乘为平方数，除以 2，答案加减 0.5 可得到两个新的数字，这两个数字连同一开始选取的奇数，三者必定形成一组勾股数。但却不一定是以这个选取数字为起首勾股数的唯一可能，例如${\displaystyle (27,364,365)}$并非是以 27 为起首的唯一勾股数，因为存在另一个勾股数是${\displaystyle (27,36,45)}$，同样也以 27 为首。

对于任何大于1的整数${\displaystyle x}$，${\displaystyle x^2+1}$、${\displaystyle x^2-<!--\; -\; -->1}$与${\displaystyle 2x}$，三个数必为勾股数，例如：代入${\displaystyle x}$为2，则${\displaystyle x^2+1}$为5，${\displaystyle x^2-<!--\; -\; -->1}$为3，${\displaystyle 2x}$为4，${\displaystyle (3,4,5)}$为一组勾股数。

费马最后定理指出，若${\displaystyle a^n+b^n=c^n}$，而${\displaystyle n}$是大于 2 的整数，${\displaystyle (a,b,c)}$即没有正整数解。