不可能的谜题（英语：The Impossible Puzzle）也称为和与积的问题（英语：Sum and Product Puzzle）是一个数学问题，乍看之下没什么有关答案的线索，无法作答，因此而称为“不可能的谜题”。此谜题最早是由汉斯·弗赖登塔尔得（英语：Hans Freudenthal）在1969年发表，而“不可能的谜题”这个名字是由马丁·加德纳所提出的。此谜题可解，但不易求解，也存在一些规模比这个小的谜题。
注：这谜题有很多个版本。这里用最原始的版本。
和。但S和P都可以根据对方的说明删除一些不符合说明的解，因此得到答案。
P知道p=52，P猜测(2,26)和(4,13)可能是答案，因此P知道s=28或s=17。
若s=28:
若s=17:
因此当S说“P不知道X和Y的值。”时，P可以删除(2,26)，剩下的(4,13)就是答案。
S知道s=17，可能的答案有(2,15)、(3,14)、(4,13)、(5,12)、(6,11)、(7,10)及(8,9)。S知道p可能是30、42、52、60、66、70或72。
当P说：“我知道X和Y的值了。”时，S可以知道P依照对话可排除大部分的可能解，只留下一个可能解。
P知道p=30，可能的答案有(2,15)、(3,10)及(5,6)。P知道s可能是17、13或11。
若s=17:
若s=13:
若s=11:
P知道p=42，可能的答案有(2,21)、(3,14)及(6,7)。P知道s可能是23、17或13。
若s=23:
若s=17:
若s=13:
P知道p=60，可能的答案有(2,30)、(3,20)、(4,15)、(5,12)及(6,10)。P知道s可能是32、23、19、17或16。
若s=32:
若s=23:
若s=19:
若s=17:
若s=16:
P知道p=66，可能的答案有(2,33)、(3,22)及(6,11)。P知道s可能是35、25或17。
若s=35:
若s=25:
若s=17:
P知道p=70，可能的答案有(2,35)、(5,14)及(7,10)。P知道s可能是37、19或17。
若s=37:
若s=19:
若s=17:
P知道p=72，可能的答案有(2,36)、(3,24)、(4,18)、(6,12)及(8,9)。P知道s可能是38、27、22、18或17。
若s=38:
若s=27:
若s=22:
若s=18:
若s=17:
只有情形3最后只有一个可能答案，因此S可以确定(4,13)是正确答案。
问题给出的条件是
令两数之和为s，两数之积为p。以下提到的(x,y)，都指符合条件1的一对整数x和y。
从S的第一句话，p可分解成多于一个(x,y)。而且S虽不知道p的值，但检查了s可分拆成的所有(x,y)后，其积xy都有多于一个分解符合条件1，因此S可以肯定P不知道X, Y的值。（条件2）
从P的第一句话，P知道p的值，也知道s符合条件2。检查了p可分解成的所有(x,y)，只有一个的和x + y符合条件2，所以P得到X, Y的值。（条件3）
从S的第二句话，S知道s的值，也知道P的分析，推出p符合条件3。检查了s可分拆成的所有(x,y)，只有一个的积xy符合条件3，所以S得到X, Y的值。（条件4）
按条件1，s的可能值最小是2 + 3 = 5，最大是100。以下找出s的所有符合条件2的可能值：
s的余下的可能值为
以上的可能值都符合条件2：因为s是奇数，任何分拆出的(x,y)必为一个奇数a和一个偶数2b。
以下检查s的符合条件2的可能值，即(*)中的值，是否满足条件4：
注意到若p = 2k q，其中q是奇质数，则p仅有一个（符合条件1的）分解2k和q，使其和是奇数，故此若其和2k + q符合条件2，则p满足条件3。
余下需要检查s的可能值 17, 41, 53。17可分拆成(4,13)，41可分拆成(4,37)，53可分拆成(16,37)，这些分拆的积都符合条件3。
检查17的各分拆：
因此17分拆成(4,13)，其积才符合条件3，故17满足条件4。
由于17是(*)中唯一满足满件4的值，得出s = 17, X = 4, Y = 13。
