三角函数

三角函数（英语：trigonometric functions）是数学中常见的一类关于角度的函数。三角函数将直角三角形的内角与它两边的比值相关联，也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义。三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用，也是研究振动、波、天体运动以及各种周期性现象的基础数学工具。在数学分析，三角函数也定义为无穷级数或特定微分方程的解，允许它们的取值扩展到任意实数值，甚至是复数值。

常见的三角函数包括正弦函数（${\displaystyle \sin }$）中计算了36度角和72度角的正弦值，还给出了计算和角公式和半角公式的方法。托勒密还给出了所有0到180度的所有整数和半整数弧度对应的正弦值:133-140:151-152。

希腊文化传播到古印度后，印度人继续研究了三角术。公元5世纪末的数学家阿耶波多提出用弧对应的弦长的一半来对应半弧的正弦，后来古印度数学家亦用了这做法，和现代的正弦定义一致:189。阿耶波多的计算中也使用了余弦和正割。他在计算弦长时使用了不同的单位，重新计算了0到90度中间隔三又四分之三度（3.75°）的三角函数值表:193。然而古印度的数学与当时的中国一样，停留在计算方面，缺乏系统的定义和演绎的证明。阿拉伯人也采用了古印度人的正弦定义，但他们的三角学是直接继承于古希腊。阿拉伯天文学家引入了正切和余切、正割和余割的概念，并计算了间隔10分（10′）的正弦和正切数值表:214-215。到了公元14世纪，阿拉伯人将三角计算重新以算术方式代数化（古希腊人采用的是建立在几何上的推导方式）的努力为后来三角学从天文学中独立出来，成为了有更广泛应用的学科奠定了基础。:225

进入15世纪后，阿拉伯数学文化开始传入欧洲。随着欧洲商业的兴盛，航行、历法测定和地理测绘中出现了对三角学的需求。在翻译阿拉伯数学著作的同时，欧洲数学家开始制作更详细精确的三角函数值表。哥白尼的学生乔治·约阿希姆·瑞提克斯（英语：Goerg Joachim Rheticus）制作了间隔10秒（10″）的正弦表，有9位精确值。瑞提克斯还改变了正弦的定义，原来称弧对应的弦长是正弦，瑞提克斯则将角度对应的弦长称为正弦。16世纪后，数学家开始将古希腊有关球面三角的结果和定理转化为平面三角定理。弗朗索瓦·韦达给出了托勒密的不少结果对应的平面三角形式。他还尝试计算了多倍角正弦的表达方式。:275-278

18世纪开始引进解析几何等分析学工具，数学家开始用分析学研究三角函数。牛顿在1669年的《分析学》一书中给出了正弦和余弦函数的无穷级数表示。Collins将牛顿的结果告诉詹姆斯·格列高里，后者进一步给出了正切等三角函数的无穷级数。莱布尼兹在1673年左右也独立得到这结果:162-163。欧拉的《无穷小量分析引论》（，1748年）对建立三角函数的分析处理做了最主要的贡献，他定义三角函数为无穷级数，并表述了欧拉公式，还有使用接近现代的简写、、、、和（）。

1631年徐光启与邓玉函、汤若望合撰《大测》首次将三角函数引入中国并确立了正弦、余弦等译名。

直角三角形中仅有锐角（大小在0到90度之间的角）三角函数的定义。指定锐角${\displaystyle \mathrm{\theta <!--\; \theta \; -->}}$转到的位置为${\displaystyle P(x,y)}$，

进一步还可以定义对复自变量的三角函数：

（其中${\displaystyle \sinh }$。

弧度通过测量沿着单位圆的路径的长度而指定一角，并构成正弦和余弦函数的特定辐角。特别是，只有映射弧度到比率的那些正弦和余弦函数才满足描述它们的经典微分方程。如果正弦和余弦函数的弧度辐角是正比于频率的

则导数将正比于“振幅”。

这里的${\displaystyle k}$是表示在单位之间映射的常数。如果${\displaystyle x}$是度，则

如果${\displaystyle x}$是圈（转，${\displaystyle 2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}$弧度，${\displaystyle 360}$度），则

这意味着使用度（或圈）的正弦的二阶导数不满足微分方程

但满足

对余弦也是类似的。

这意味着这些正弦和余弦是不同的函数，因此只有它的辐角是弧度的条件下，正弦的四阶导数才再次是正弦。因为凡是作为函数意义上的正弦、余弦、正切，都只用弧度定义，而不用360度的角度定义。

在数学分析中，可以利用基于和差公式这样的性质的函数方程来定义三角函数。例如，取用给定此种公式和毕达哥拉斯恒等式，可以证明只有两个实函数满足这些条件。即存在唯一的一对实函数${\displaystyle \sin }$和${\displaystyle \cos }$使得对于所有实数${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$，下列方程成立：

并满足附加条件

从其他函数方程开始的推导也有可能，这种推导可以扩展到复数。作为例子，这推导可以用来定义伽罗瓦域中的三角学。

计算三角函数是复杂的主题，由于计算机和提供对任何角度的内置三角函数的科学计算器的广泛使用，现在大多数人都不需要了。本节中将描述它在三个重要背景下的计算详情：历史上三角函数表的使用，计算机使用的现代技术，以及容易找到简单精确值的一些“重要”角度。（下面只考虑一个角度小范围，比如0到${\displaystyle \frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}}$，因为通过三角函数的周期性和对称性，所有其他角度可以化简到这范围内。）

有计算机之前，人们通常通过对计算到多个有效数字的三角函数表的内插来计算三角函数的值。这种表格在人们刚刚产生三角函数的概念的时候就已经有了，它们通常是通过从已知值（比如${\displaystyle \sin <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}{2}=1}$）开始并重复应用半角和和差公式而生成。

现代计算机使用了各种技术。一个常见的方式，特别是在有浮点单元的高端处理器上，是组合多项式或有理式逼近（比如切比雪夫逼近、最佳一致逼近和Padé逼近，和典型用于更高或可变精度的泰勒级数和罗朗级数）和范围简约与表查找—首先在一个较小的表中查找最接近的角度，然后使用多项式来计算修正。在缺乏硬件乘法器的简单设备上，有叫做CORDIC算法的一个更有效算法（和相关技术），因为它只用了移位和加法。出于性能的原因，所有这些方法通常都用硬件来实现。

对于非常高精度的运算，在级数展开收敛变得太慢的时候，可以用算术几何平均来逼近三角函数，它自身通过复数椭圆积分来逼近三角函数。

对于一些简单的角度，使用毕达哥拉斯定理（也就是勾股定理）可以很容易人手计算三角函数的值。事实上，${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}/60}$弧度（3°）的任何整数倍的正弦、余弦和正切都可以手工计算。以下是一些常用的特殊函数值。

注：${\displaystyle \pm <!--\; \pm \; -->\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}$有时会写作无定义（不存在）。

由于三角函数属于周期函数，而不是单射函数，所以严格来说并没有反函数。因此要定义其反函数必须先限制三角函数的定义域，使得三角函数成为双射函数。基本的反三角函数定义为：

对于反三角函数，符号${\displaystyle {\sin }^{-<!--\; -\; -->1}}$和${\displaystyle {\cos }^{-<!--\; -\; -->1}}$经常用于${\displaystyle \arcsin }$和${\displaystyle \arccos }$。使用这种符号的时候，反函数可能跟三角函数的倒数混淆。使用“${\displaystyle \mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}-<!--\; -\; -->}$”前缀的符号避免了这种混淆，尽管“${\displaystyle \mathrm{arcsec}}$”可能偶尔跟“arcsecond”混淆。

正如正弦和余弦那样，反三角函数也可以根据无穷级数来定义。例如，

这些函数也可以通过证明它们是其他函数的原函数来定义。例如反正弦函数，可以写为如下积分：

可以在反三角函数条目中找到类似的公式。使用复对数可把这些函数延伸到复数辐角：

三角函数，正如其名，在三角学十分重要。在三角学研究，数学家发现了许多利用三角函数来刻画三角形、圆形或多边形的定理。

正弦定理声称对于边长为${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$和${\displaystyle c}$而相应角为${\displaystyle A}$、${\displaystyle B}$和${\displaystyle C}$的三角形，有：

其中${\displaystyle R}$是三角形的外接圆半径。正弦定理用于计算已知两角和一边时三角形的未知边长，是三角测量中常见情况，前述为数学常用。至于物理学应用为三分力且合力为0的情况。

余弦定理（也叫余弦公式）是托勒密定理的延伸：

${\displaystyle c^2=a^2+b^2-<!--\; -\; -->2ab\cos <!--\; \; -->C}$

也可表示为

${\displaystyle \cos <!--\; \; -->C=\frac{a^2+b^2-<!--\; -\; -->c^2}{2ab}}$。

余弦定理用于确定三角形已知两边和一角时未知的值。

${\displaystyle \cot <!--\; \; -->\frac{\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}{2}=\frac{s-<!--\; -\; -->a}{\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}}}$

其中$\mathrm{\zeta <!--\; \zeta \; -->}=\sqrt{\frac{1}{s}(s-<!--\; -\; -->a)(s-<!--\; -\; -->b)(s-<!--\; -\; -->c)}$为三角形的内切圆半径，$s=\frac{a+b+c}{2}$为三角形半周长。

三角函数在物理也重要，如用正弦和余弦函数描述简谐运动，它描述了很多自然现象，比如附着在弹簧上的物体的振动，挂在绳子上物体的小角度摆动。正弦和余弦函数是圆周运动的一维投影。

三角函数在一般周期函数的研究中也很有用。这些函数有作为图像的特征波模式，在描述循环现象比如声波或光波的时候是很有用的。每个信号都可以记为不同频率的正弦和余弦函数的（通常无限）和；这是傅立叶分析的基础想法，这里的三角级数可以用来解微分方程的各种边值问题。例如，方波可以写为傅立叶级数

在右边的动画中，可以看到只用几项就形成非常准确的估计。

正弦 · 余弦 · 正切 · 余切 · 正割 · 余割

反正弦 · 反余弦 · 反正切 · 反余切 · 反正割‎ · 反余割

正矢 · 余矢 · cis函数 · 余cis函数 · 半正矢 · 半余矢 · 外正割 · 外余割 · atan2 · 古德曼函数

双曲正弦 · 双曲余弦

正弦定理 · 余弦定理 · 正切定理 · 余切定理 · 勾股定理

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