哈瑟原则

✍ dations ◷ 2025-12-09 20:43:47 #代数数论,丢番图方程

在数学里，赫尔姆特·哈瑟的局部-全域原则，或称为哈瑟原则，是一个表示“一个方程可以在有理数上被解当且仅当它可以在实数上‘及’在每个质数之p进数上被解”的原则。

哈瑟-闵可夫斯基定理描述著局部-全域原则会由在有理数上之二次型来表示0的问题中成立(由闵可夫斯基证出)；且更一般性地，会在任何一个数域上成立(由哈瑟证出)，其中使用了所有合适的局部域的必要条件。循环扩张上的哈瑟定理描述著局部-全域原则可以应用在数域循环扩张之一个相对赋范的条件下。

恩斯特·赛尔玛提出的反例表示哈瑟-闵可夫斯基定理不可以扩伸至三次型，如三次型33+43+53可以在p进数上表示0，但不能在Q上表示。

罗杰·希思布朗页面存档备份，存于互联网档案馆证明每个在整数上至少有14个变数的三次型可以表示0，改进了由哈罗德·达芬波特所证明出的早期成果。因此局部-全域原则当然地会在有理数上至少有14个变数的三次型上成立。

若将其限定在无奇点的类型上，即可以得到更好的结果：希思布朗证明每个在有理数上至少有10个变数之无奇点的三次型都可表示0，因此可以当然地建立起在此一类型上的哈瑟原则。可知在最有可能的义意下，可知会存在一个不会表示零的9个变数之于有理数上的无奇点三次型。无论如何，荷利证明出了哈瑟原则会在由在有理数上至少9个变数之无奇点三次型来表示0的条件下成立。达芬波特、希思布朗和荷利在他们的证明中都是使用哈代-勒特伍德圆法。根据马宁的想法，哈瑟原则在三次型中成立的障碍是被挷在布劳尔群的理论之中；而现在只表现出此一设定还不是个完整的故事(Alexei Skorobogatov, 1999)。

藤原正彦和Masaki Sudo提出的反例表示哈瑟-闵可夫斯基定理不可以延伸至10+5次型，其中的是一个非负整数。

在另一方面，柏区定理证明出若是一个奇数，则存在一个 ()，使任何有多于个变数的次型皆能表示 0：哈瑟原则在此当然地成立。

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