四维凸正多胞体

✍ dations ◷ 2024-09-20 12:25:22 #多胞体

在数学中，四维凸正多胞体（英语：convex regular polychoron）是指一类既是凸的又是正的的四维多胞体（英语：4-polytope）（4-多胞形）。它们是正多面体（三维）和正多边形（二维）的四维类比。它们最先在19世纪被数学家路德维希·施莱夫利所发现，其中五个与五个柏拉图立体一一对应，另外一个（正二十四胞体）没有好的三维类比。

每个四维凸正多胞体必须有同种的同样大小的凸正多面体胞面面相接构成，并且每个顶点周围必须有相同数量的胞。

下面的表格描述了六个四维凸正多胞体的基本特性，表格的最后一列给出了它们所属的考克斯特群，形象化描述了它们在一系列镜面反射中的抽象群；及这个群的阶。

这6个四维凸正多胞体都是表面与三维球面（S3）同胚的单连通多胞体，所以它们的欧拉示性数都为0，因此我们有以下欧拉公式的四维类比：

其中 $V {\displaystyle V}$ $V$ 代表零维顶点数， $E {\displaystyle E}$ $E$ 代表一维棱数， $F {\displaystyle F}$ $F$ 代表二维面数， $C {\displaystyle C}$ $C$ 代表三维胞数。

以下的表格展示了6个四维凸正多胞体的多种二维投影（更多图像可以在各自的页面里找到）。表头给出了多胞体的施莱夫利符号和考克斯特符号（英语：Coxeter-Dynkin digram）。

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