群子集的乘积

✍ dations ◷ 2025-12-02 02:02:53 #群论,二元运算

在数学，若和为群的子集，则其乘积为的子集，其定义为

其中，和不必然需要是子群。其乘积的结合律源自群的结合律。因此，群子集的乘积定义出了一个于幂集上的自然幺半群结构。

即使和为的子群，其乘积也不必然会是个子群。其乘积为子群当且仅当 = 。在这一情形之下，会是个由和生成出的群，即 = = < ∪ >。若或有一是的正规子群，上述情形便会满足，会是个子群。设是正规子群，则根据第二同构定理， ∩ 是的正规子群且/ 同构于 /( ∩ )。

若为一有限群，且和为的子群，则的元素个数可由给定：

即使和都不是正规子群，上述公式也一样适用。

特别地，如果和的交集仅为单位元，那么的每一个元素都可以唯一地表示为乘积，其中位于内，位于内。如果和还是可交换的，那么就是一个群，称为扎帕-塞普乘积。更进一步，如果或在中正规，那么便称为半直积。最后，如果和都在中正规，那么便称为直积。

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