群子集的乘积

✍ dations ◷ 2025-04-30 09:56:50 #群论,二元运算

在数学,若和为群的子集,则其乘积为的子集,其定义为

其中,和不必然需要是子群。其乘积的结合律源自群的结合律。因此,群子集的乘积定义出了一个于幂集上的自然幺半群结构。

即使和为的子群,其乘积也不必然会是个子群。其乘积为子群当且仅当 = 。在这一情形之下,会是个由和生成出的群,即 = = < ∪ >。若或有一是的正规子群,上述情形便会满足,会是个子群。设是正规子群,则根据第二同构定理, ∩ 是的正规子群且/ 同构于 /( ∩ )。

若为一有限群,且和为的子群,则的元素个数可由给定:

即使和都不是正规子群,上述公式也一样适用。

特别地,如果和的交集仅为单位元,那么的每一个元素都可以唯一地表示为乘积,其中位于内,位于内。如果和还是可交换的,那么就是一个群,称为扎帕-塞普乘积。更进一步,如果或在中正规,那么便称为半直积。最后,如果和都在中正规,那么便称为直积。

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