主曲率

✍ dations ◷ 2025-08-25 15:10:55 #曲率,曲面的微分几何,曲面

在微分几何中,在曲面给定点的两个主曲率(principal curvatures)衡量了在给定点一个曲面在这一点的不同方向怎样不同弯曲的程度。

在曲面上取一点E,曲面在E点的法线为z轴,过z轴可以有无限多个剖切平面,每个剖切平面与曲面相交,其交线为一条平面曲线,每条平面曲线在E点有一个曲率半径。不同的剖切平面上的平面曲线在E点的曲率半径一般是不相等的。这些曲率半径中,有一个最大和最小的曲率半径,称之为主曲率半径,记作 12,这两个曲率半径所在的方向,数学上可以证明是相互垂直的。

这里一条曲线的曲率由定义是密切圆半径的倒数。当曲线转向与平面给定法向量相同方向时,曲率取正值,否则取负值。当曲率取最大与最小值的两个法平面方向总是垂直的,这是欧拉在1760年的一个结论,称之为主方向。从现代的观点来看,这个定理来自谱定理因为它们可以作为对应于高斯映射微分的一个对称矩阵的本征向量。对主曲率和主方向的系统研究由达布使用达布标架完成。

两个主曲率的乘积 是高斯曲率 ,而平均值 是平均曲率 。

如果在每一点至少有一个主曲率是零,则高斯曲率是零,这种曲面是可展曲面。对极小曲面,平均曲率在每一点是零。

设 是欧几里得空间中一个曲面,第二基本形式为 (,)。固定一点 ∈,以及在 点切空间的一个标准正交基 12。则主曲率是如下对称矩阵的本征值

如果选取 12 使得矩阵 是一个对角矩阵,则它们称为主方向。如果曲面已定向,则通常要求 (1, 2) 与给定的定向相同。

若没有一个特定的标准正交基,主曲率是形算子的本征值,而主方向是本征向量。

对高维欧几里得空间中超曲面,主曲率可类似地定义。主曲率是第二基本形式在一个标准正交基下矩阵 (i,j) 的本征值,主方向是对应的本征向量。

类似地,如果 是黎曼流形 中一个超曲面,则主曲率是其第二基本形式的本征值。如果 1, ..., n 是点 ∈ 的 个主曲率而 1, ..., n 是对应的标准正交本征向量(主方向),则 在 的截面曲率为

曲率线(lines of curvature 或 curvature lines)是总与一个主方向相切的曲线,它们是主方向场的积分曲线。过每个非脐点有两条曲率线,它们相交成直角。

在一个脐点附近曲率线有三类布局:星形(star)、柠檬形(lemon)以及檬星形(monstar,源于 )。为了纪念达布,这些点也称为达布脐点,他最先在他1896年的课程(Vol. 4, p455)中做了系统性研究。

柠檬形

檬星形

星形

在这些布局中,红色曲线是一类主方向的曲率线,而蓝色曲线是另一类的。

当一条曲率线对同一个主曲率有一个局部极值,则此曲线有一个脊点(ridge point)。曲面上曲线的脊点称为脊。脊曲线经过脐点。对星形布局有 3 条或 1 条脊线经过脐点,对 monstar 与 lemon 只有一条脊线经过。

相关

  • 调露调露(679年六月—680年八月)是唐高宗李治的年号。共计2年。
  • 的研究此页面乃关于世界各地在历史上的国内生产总值的列表,数值依据购买力平价因素。本页内所述之地区并不全然以一国为准。例如阿拉伯帝国、古罗马、阿契美尼德王朝等横亘多个地区
  • 赵丽蓉赵丽蓉(1928年3月11日-2000年7月17日),天津市宝坻区人,中国评剧、小品表演艺术家。赵丽蓉是天津宝坻县西庄村(今属口东镇)人。孩提时期在沈阳被抱上戏台演“彩娃子”(喜神),四、五岁便
  • 本吉本吉是刚果共和国的城市,由盆地省负责管辖,位于该国中部阿利马河畔,海拔高度438米,市内有机场设施、市集、港口和资源中心。
  • 西城乡 (定州市)西城乡,是中华人民共和国河北省保定市定州市下辖的一个乡镇级行政单位。西城乡下辖以下地区:西城村、北町社区村、东湖村、解家庄村、东城村、西城庄村、西新庄村、胡阜才村、
  • 卡苏姆巴赫河坐标:52°5′57.76″N 8°14′45.31″E / 52.0993778°N 8.2459194°E / 52.0993778; 8.2459194卡苏姆巴赫河(德语:Casumer Bach),是德国的河流,位于该国西部,处于北莱茵-威斯特法
  • 艾米·洛威尔艾米·洛威尔(英语:Amy Lowell,1874年2月9日-1925年5月12日),美国诗人,是洛威尔家族的成员,兄弟姐妹包括帕西瓦尔·罗威尔、A·劳伦斯·罗威尔。她是一个女同性恋者。
  • 格哈尔特·达姆科勒格哈尔特·达姆科勒(英语:Gerhard Damköhler;1908年3月16日-1944年3月30日)是一名德国化学家。1936至1944年期间于哥廷根担任物理化学学院化学反应工程的主持者。而应用于化学动
  • 位移电流在电磁学里,位移电流(displacement current)定义为电势移对于时间的变率。位移电流的单位与电流的单位相同。如同真实的电流,位移电流也有一个伴随的磁场。但是,位移电流并不是移
  • 高柳仪八高柳仪八(日语:高柳儀八、たかやなぎ のりはち或たかやなぎ ぎはち),1891年4月17日-1973年12月29日。大日本帝国海军军官。大和号战列舰第二任舰长。最终军衔位海军中将。佐贺县