费曼－卡茨公式

费曼－卡茨公式是一个数学公式与定理，得名于理查德·费曼和马克·卡茨，将随机过程和抛物型偏微分方程结合在一起。使用费曼－卡茨公式可以通过将某些抛物型偏微分方程的解写成随机过程的条件期望的方式，从而将求此类微分方程的数值解转化为模拟随机过程的路径。反过来，此一类随机过程的期望可以通过确定性的计算（偏微分方程求解）得到。考虑偏微分方程：

其中的 ${\displaystyle \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->},\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->},\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->},V}$ 存在。卡拉查斯和史雷夫在1988年证明了：当其余函数及 满足以下条件

的时候，解函数可以用费曼－卡茨公式表达为条件期望的形式。这些条件中并不保证解的存在性。要保证后者，需要更强的条件：

以上条件由弗里德曼在1975年给出。1980年克里洛夫提出用更简洁（同时更强）的条件代替，可以是：

所有的参数函数${\displaystyle \mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->},\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->},\mathrm{\psi <!--\; \psi \; -->},V,f}$有下界。

在以上的条件下，偏微分方程的解唯一存在，并且满足费曼－卡茨公式的期望表达，同时也满足多项式增长条件。

为简化起见，以下只证明${\displaystyle f(x,t)=0}$的情况。设偏微分方程的解函数为 ${\displaystyle u(x,t)}$。对以下函数${\displaystyle Y_s=e^{-<!--\; -\; -->{\int <!--\; \int \; -->}_t^{s}V(X_{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}})d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}u(X_s,s)}$ 使用伊藤公式，可以得到：

由于 ${\displaystyle d{e}^{-<!--\; -\; -->{\int <!--\; \int \; -->}_t^{s}V(X_{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}})d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}=-<!--\; -\; -->V(X_s)e^{-<!--\; -\; -->{\int <!--\; \int \; -->}_t^{s}V(X_{\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}})d\mathrm{\tau <!--\; \tau \; -->}}ds}$，等式右边第三项是高阶无穷小${\displaystyle o(dt)}$，因此可以忽略。再一次对${\displaystyle du(X_s,s)}$ 使用伊藤公式，会得到

等式右边的第一项里的括号中的式子恰好是微分方程的左边，因此等于0。剩下的是：

将这个等式的两边从 ${\displaystyle t}$ 积分到 ${\displaystyle T}$，可以得到：

两边取在已知${\displaystyle X_t=x}$下的条件期望，并且注意到等式右边是一个伊藤积分，因此右边等于0。所以 ${\displaystyle E=E=u(x,t)}$。注意到

就可以得出需要证明的结论。

其中的

也就是说 ${\displaystyle \mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}=\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}{\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}}$，其中${\displaystyle {\mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}^{\mathrm{\prime <!--\; \prime \; -->}}}$是矩阵 ${\displaystyle \mathrm{\sigma <!--\; \sigma \; -->}}$的转置矩阵。

费曼－卡茨公式说明这个期望值等价于对某个扩散方程（抛物型偏微分方程）的解的积分。特别地，当条件${\displaystyle uV(x)⩾<!--\; ⩾\; -->0}$满足时，若设${\displaystyle w(x,0)=\mathrm{\delta <!--\; \delta \; -->}(x)}$并满足${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}w}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=\frac{1}{2}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}w}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}-<!--\; -\; -->uV(x)w}$，则有

费曼－卡茨公式也可以阐释成对某个特定形式的泛函积分求值的一种方法。如果：

其中的积分对所有的随机漫步路径取得，那么

其中${\displaystyle w(x,t)}$是抛物型偏微分方程 ${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}w}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}t}=\frac{1}{2}\frac{{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}^{2}w}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{x}^2}-<!--\; -\; -->uV(x)w,}$ 的解。并满足初始条件 ${\displaystyle w(x,0)=f(x)}$.