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解析延拓

✍ dations ◷ 2025-06-08 13:10:26 #数学分析小作品,复分析,微积分,光滑函数

解析延拓是数学上将解析函数从较小定义域拓展到更大定义域的方法。透过此方法，一些原先发散的级数在新的定义域可具有迥异而有限的值。其中最知名的例子为Γ函数与黎曼ζ函数。

若为一解析函数，定义于复平面C中之一开子集，而是C中一更大且包含之开子集。为定义于之解析函数，并使

则称为之解析延拓。换过来说，将函数限制在则得到原先的函数。

解析延拓具有唯一性：

若为两解析函数₁及₂的连通定义域，并使包含；若在中所有的使得

则在中所有点

此乃因 ₁ − ₂亦为一解析函数，其值于的开放连通定义域上为0，必导致整个定义域上的值皆为0。此为全纯函数之惟一性定理的直接结果。

在复分析处理过程中定义函数的通常做法是，首先在较小的定义域中具体定义函数，然后通过解析延拓将其扩展到指定范围。在实际操作中，为了实现函数的连续性，我们需要在较小的定义域中建立函数方程，然后通过这个方程拓展定义域。例如黎曼ζ函数和Γ函数。全覆盖的概念最早用来定义解析函数解析延拓之后的自然定义域。寻找函数解析延拓后的最大定义域的想法最后导致了黎曼面的诞生。

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