纯态

✍ dations ◷ 2025-04-02 14:53:39 #纯态

纯态（pure state）这个名词出现在几个领域，包括物理方面的量子力学以及数学方面的泛函分析理论。

在量子力学当中，纯态由一个相同统计系综(ensemble)所构成，而相对于纯态的混态(mixed state)则可以分解两个以上的系综。在量子力学中有诸多表示型(formalism)，一个量子态可由密度矩阵或称密度算符表示，区分纯态和混态的方法即可由此得之。纯态S可用狄拉克符号的右括向量表示：

或写成密度矩阵表示型则为：

而混态的密度矩阵则为

就某种意义上来说，纯态也可以说成是混态中的一项特例。只要将上式 ${displaystyle c_{i},}$ $c_{i},$ 其中一项设为1， ${displaystyle c_{i},}$ $c_{i},$ 其他项皆为0，则纯态式子就可从混态式子中迸现出来。

区分纯态与混态的方法要利用到 ${displaystyle tr(rho ),}$ $tr(rho ),$ 。 ${displaystyle tr(rho ),}$ $tr(rho ),$ 表示对矩阵 ${displaystyle rho ,}$ $rho ,$ 取对角线元素和(trace)，将纯态和混态做归一化动作，使得 ${displaystyle tr(rho ),}$ $tr(rho ),$ 之值皆会是1。

而两者不同处在于 ${displaystyle tr(rho ^{2}),}$ $tr(rho ^{2}),$ ：归一化过的纯态 ${displaystyle tr(rho ^{2})=tr(rho )=1,}$ $tr(rho ^{2})=tr(rho )=1,$ ，而归一化过的混态则 ${displaystyle tr(rho ^{2})<1,}$ $tr(rho ^{2})<1,$ ，和 ${displaystyle tr(rho )=1,}$ $tr(rho )=1,$ 不同，由此得以辨别出纯态与混态。

${displaystyle rho _{1}={begin{pmatrix}{frac {1}{2}}&{frac {1}{2}}\{frac {1}{2}}&{frac {1}{2}}end{pmatrix}}}$ $rho _{1}={begin{pmatrix}{frac {1}{2}}&{frac {1}{2}}\{frac {1}{2}}&{frac {1}{2}}end{pmatrix}}$ 为纯态， ${displaystyle rho _{2}={begin{pmatrix}{frac {1}{2}}&0\0&{frac {1}{2}}end{pmatrix}}}$ $rho _{2}={begin{pmatrix}{frac {1}{2}}&0\0&{frac {1}{2}}end{pmatrix}}$ 为混态

${displaystyle rho _{1}^{2}=rho _{1}*rho _{1}={begin{pmatrix}{frac {1}{2}}&{frac {1}{2}}\{frac {1}{2}}&{frac {1}{2}}end{pmatrix}}}$ $rho _{1}^{2}=rho _{1}*rho _{1}={begin{pmatrix}{frac {1}{2}}&{frac {1}{2}}\{frac {1}{2}}&{frac {1}{2}}end{pmatrix}}$ ； ${displaystyle rho _{2}^{2}=rho _{2}*rho _{2}={begin{pmatrix}{frac {1}{4}}&0\0&{frac {1}{4}}end{pmatrix}}}$ $rho _{2}^{2}=rho _{2}*rho _{2}={begin{pmatrix}{frac {1}{4}}&0\0&{frac {1}{4}}end{pmatrix}}$ 。

量子退相干现象的过程中，与环境的相互作用会让密度矩阵的非对角线元素(off-diagonal elements)随时间衰减到0。也就是说在这个例子，随着时间 ${displaystyle t,}$ $t,$ 逐渐增加，原本纯态 ${displaystyle rho _{1}={begin{pmatrix}{frac {1}{2}}&{frac {1}{2}}e^{-{frac {t}{T_{2}}}}\{frac {1}{2}}e^{-{frac {t}{T_{2}}}}&{frac {1}{2}}end{pmatrix}}Rightarrow rho _{1}(t=0)={begin{pmatrix}{frac {1}{2}}&{frac {1}{2}}\{frac {1}{2}}&{frac {1}{2}}end{pmatrix}}}$ $rho _{1}={begin{pmatrix}{frac {1}{2}}&{frac {1}{2}}e^{{-{frac {t}{T_{2}}}}}\{frac {1}{2}}e^{{-{frac {t}{T_{2}}}}}&{frac {1}{2}}end{pmatrix}}Rightarrow rho _{1}(t=0)={begin{pmatrix}{frac {1}{2}}&{frac {1}{2}}\{frac {1}{2}}&{frac {1}{2}}end{pmatrix}}$

${displaystyle {begin{matrix}{}^{trightarrow infty }\to \{}\{}\{}\{}end{matrix}}quad ,}$ ${begin{matrix}{}^{{trightarrow infty }}\to \{}\{}\{}\{}end{matrix}}quad ,$ 混态 ${displaystyle rho _{2}={begin{pmatrix}{frac {1}{2}}&0\0&{frac {1}{2}}end{pmatrix}}}$ $rho _{2}={begin{pmatrix}{frac {1}{2}}&0\0&{frac {1}{2}}end{pmatrix}}$ 。

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