杜哈梅原理

✍ dations ◷ 2025-04-02 13:15:48 #偏微分方程

杜哈梅原理（英语：Duhamel's principle），又称为齐次化原理，是求解非齐次线性偏微分方程（如热传导方程、波动方程）的一种方法。杜哈梅原理以法国数学家杜哈梅的名字命名，他最早在非齐次热传导方程中应用了此方法。该方法可以看作是求解非齐次线性常微分方程时使用的常数变易法（Variation of parameters）的推广。

杜哈梅原理将非齐次问题的求解转化为一组柯西问题（初值问题）的求解。以热传导方程为例，热能分布 $u {\displaystyle u}$ $u$ 为 $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ 上的函数。初值问题为

其中 $g {\displaystyle g}$ $g$ 表示初始的热分布。而相应的非齐次问题则为

可以将非齐次问题看成是无数个瞬时 $t=t_{0}$ $t=t_{0}$ 的齐次问题的叠加。由于方程是线性的，故将每一个 $t_{0}$ $t_{0}$ 时刻的齐次问题的解叠加（积分）之后就可以得到非齐次问题的解。这便是杜哈梅原理的基本思想。

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