八元数

${\displaystyle e_0}$进数
数学常数

圆周率 ${\displaystyle \mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}=3.141592653\dots <!--\; \dots \; -->}$与的组合，即 + 或${\displaystyle p_0+p_{1}i+p_{2}j+p_{3}k+\left(q_0+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k\right)l}$为其中一个八元数单位并满足：

在这种定义下每一个八元数都是单位八元数{1, , , , , , , }的线性组合。也就是说，每一个八元数都可以写成

其中系数是实数。这些八元数单位亦满足：

八元数的加法是把对应的系数相加，就像复数和四元数一样。根据线性，八元数的乘法完全由以下单位八元数的乘法表来决定。

一些不同的定义方式会将八元数的单位元素表达为的线性组合，其中 =0, 1,..., 7 ：

当中的${\displaystyle e_0}$ 都可以写成以下形式：

其中x_i为单位元素e_i的系数，且必为实数。八元数的加法和减法是通过加减相应的项以及它们的系数来完成的，与四元数的加减法类似。 乘法则较为复杂。 八元数的乘法是对加法的分配，所以两个八元数的乘积可以通过对所有项的乘积求和来计算，再次如同四元数一般。 每对项的乘积可以通过系数的乘积和单位八元数的乘法表给出，其乘法表的结构与{1, , , , , , , }的模式（${\displaystyle p_0+p_{1}i+p_{2}j+p_{3}k+\left(q_0+q_{1}i+q_{2}j+q_{3}k\right)l}$ = 时为1）、 ε_ijk为完全反对称张量（英语：completely antisymmetric tensor），且当 = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365时，值为1。

然而，上述定义并不是唯一的。这些定义只是${\displaystyle e_0=1}$₁₂ = ₄的7循环（1234567）下的定义不变量 — 通过使用三角乘法图或下面的 法诺平面，该平面还显示了基于124的7循环三元组及其相关乘法的排序列表和${\displaystyle ijkl}$、和的圆也视为一条直线），称为法诺平面（英语：Fano plane）。这些直线是有向的。七个点对应于Im(${\displaystyle \mathbb{O}}$, , )为位于一条给定的直线上的三个有序点，其顺序由箭头的方向指定。那么，乘法由下式给出：

以及它们的循环置换（英语：Cyclic permutation）。这些规则

完全定义了八元数的乘法结构。七条直线的每一条都生成了${\displaystyle \mathbb{O}}$₁, ₂ ... ₇}，则八元数的共轭可以简化表示为：:6

共轭是${\displaystyle \mathbb{O}}$的实数部分定义为${\displaystyle \mathrm{R}\mathrm{e}\left(x\right)=\frac{x+x^{\ast <!--\; \ast \; -->}}{2}=x_0}$的范数可用与自身共轭的积${\displaystyle \Vert <!--\; \Vert \; -->x{\Vert <!--\; \Vert \; -->}^2=x^{\ast <!--\; \ast \; -->}x}$ ≠ 0的逆元素为：:6

它满足${\displaystyle x{x}^{-<!--\; -\; -->1}=x^{-<!--\; -\; -->1}x=1}$，是${\displaystyle \mathbb{O}}$₂（英语：G2 (mathematics)）。群₂是一个单连通、紧致、14维的实李群。这个群是例外李群（英语：w:Exceptional Lie group#Exceptional cases）中最小的一个。