哈密顿-雅可比-贝尔曼方程

哈密顿-雅可比-贝尔曼方程（Hamilton-Jacobi-Bellman equation，简称HJB方程）是一个偏微分方程，是最佳控制的中心。HJB方程式的解是针对特定动态系统及相关成本函数下，可以有最小成本的控制实值函数。

若只在某一个区域求解，HJB方程是一个必要条件，若是在整个状态空间下求解，HJB方程是充份必要条件。其解是针对开回路的系统，但也允许针对闭回路系统求解。HJB方程也可以扩展到随机系统。

一些经典的变分问题，例如最速降线问题，可以用此方法求解。

HJB方程的基础是以1950年代由理查德·贝尔曼及其同仁提出的动态规划。对应的离散系统方程式一般称为贝尔曼方程。在连续时间的结果可以视为由卡尔·雅可比及威廉·哈密顿提出，经典力学中哈密顿－雅可比方程的延伸。

考虑在时间${\displaystyle }$为标量成本函数，为计算其最终状态时效力时或经济值的函数，()为系统状态向量，(0)假设已知，及()是想要求得的控制向量，在 0 ≤  ≤ 。

此系统也需满足下式：

其中可以根据状态向量决定向量后续的变化。

针对上述简单的系统，哈密顿-雅可比-贝尔曼微分方程如下：

需符合以下条件

其中${\displaystyle a\cdot <!--\; \cdot \; -->b}$到 + ，可得：

注意最后一项的泰勒展开式如下：

其中o()是泰勒展开式中的高阶项，若在等式两侧删除((), )，除以，并取趋近为零的极限，可得上述定义的HJB方程。

HJB方程一般会用逆向归纳法（英语：Backward induction）求解，也就是从${\displaystyle t=T}$往前求解到${\displaystyle t=0}$。

若对整个状态空间求解，HJB方程是最佳解的充份必要条件。若可以求解${\displaystyle V}$，就可以找到达到最小成本的控制${\displaystyle u}$。

一般而言，HJB方程不会有一个传统光滑函数的解。为了这些情形发展了许多广义解的表示方式，包括皮埃尔-路易·利翁及迈克尔·克兰德尔（英语：Michael Crandall）的粘性解，Andrei Izmailovich Subbotin的极小化极大算法等。

上述的作法主要是应用贝尔曼的最优化原理，以及在时间上由最终时间倒推求解，针对随机控制问题也可以用类似的作法求最佳解。考虑以下的问题

此时${\displaystyle (X_t{)}_{t\in <!--\; \in \; -->}}$为随机过程，而${\displaystyle (u_t{)}_{t\in <!--\; \in \; -->}}$为控制变数。首先使用贝尔曼方程，再用伊藤引理将${\displaystyle V(X_t,t)}$展开，可以得到以下的随机HJB方程。

其中${\displaystyle \mathcal{A}}$为随机微分运算子，以下是最终时间的限制条件。

注意此时已没有随机性了。此例中后者的${\displaystyle V}$不一定是原来方程式的解，它只是可能解之一，需要再作验证。此技巧常用在财务数学中，决定在市场中的最佳投资策略（例如像默顿的投资组合问题（英语：Merton's portfolio problem））。

下例是一个有线性随机动态特性的系统，有二次式的成本。若系统动态为

而成本以以下的速度累积${\displaystyle C(x_t,u_t)=r(t)u_t^2/2+q(t)x_t^2/2}$，则HJB方程为

假设价值函数是二次式，可以将一般的Riccati方程用在价值函数的海森矩阵中，即为线性二次高斯控制（LQG控制）。