连分数

在数学中，连分数或繁分数即如下表达式：这里的 a 0 {displaystyle a_{0}} 是某个整数，而所有其他的数 a n {displaystyle a_{n}} 都是正整数，可依样定义出更长的表达式。如果部分分子（partial numerator）和部分分母（partial denominator）允许假定任意的值，在某些上下文中可以包含函数，则最终的表达式是广义连分数。在需要把上述标准形式与广义连分数相区别的时候，可称它为简单或正规连分数，或称为是规范形式的。连分数常用于无理数的逼近，例如：2 = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + ⋱ {displaystyle {sqrt {2}}=1+{frac {1}{2+{cfrac {1}{2+{cfrac {1}{2+{cfrac {1}{2+{cfrac {1}{2+{cfrac {1}{2+ddots }}}}}}}}}}}}} 由此得到 2 {displaystyle {sqrt {2}}} 的渐近分数 1 1 {displaystyle {frac {1}{1}}} 、 3 2 {displaystyle {frac {3}{2}}} 、 7 5 {displaystyle {frac {7}{5}}} 、 17 12 {displaystyle {frac {17}{12}}} 、…5 − 1 2 = 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 + ⋱ {displaystyle {frac {{sqrt {5}}-1}{2}}={frac {1}{1+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{1+ddots }}}}}}}}}}}}} 由此得到黄金分割的渐近分数 1 1 {displaystyle {frac {1}{1}}} 、 1 2 {displaystyle {frac {1}{2}}} 、 2 3 {displaystyle {frac {2}{3}}} 、 3 5 {displaystyle {frac {3}{5}}} 、 5 8 {displaystyle {frac {5}{8}}} 、 8 13 {displaystyle {frac {8}{13}}} 、……π = 3 + 1 7 + 1 15 + 1 1 + 1 292 + 1 1 + 1 1 + ⋱ {displaystyle pi =3+{frac {1}{7+{cfrac {1}{15+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{292+{cfrac {1}{1+{cfrac {1}{1+ddots }}}}}}}}}}}}} 由此得到圆周率的渐近分数 3 1 {displaystyle {frac {3}{1}}} 、 22 7 {displaystyle {frac {22}{7}}} （约率）、 333 106 {displaystyle {frac {333}{106}}} 、 355 113 {displaystyle {frac {355}{113}}} （密率）、 103993 33102 {displaystyle {frac {103993}{33102}}} 、……数学上可以证明，由（狭义）连分数得到的渐近分数，在分子或分母小于下一个渐进分数的分数中，其值是最接近精确值的近似值。研究连分数的动机源于想要有实数在“数学上纯粹”的表示。多数人熟悉实数的小数表示：这里的 a 0 {displaystyle a_{0}} 可以是任意整数，其它 a i {displaystyle a_{i}} 都是 { 0 , 1 , 2 , … , 9 } {displaystyle {0,1,2,ldots ,9}} 的一个元素。在这种表示中，例如数 π {displaystyle pi } 被表示为整数序列 { 3 , 1 , 4 , 1 , 5 , 9 , 2 , … } {displaystyle {3,1,4,1,5,9,2,ldots }} 。这种小数表示有些问题。例如，在这种情况下使用常数10是因为我们使用了10进制系统。我们还可以使用8进制或2进制系统。另一个问题是很多有理数在这个系统内缺乏有限表示。例如，数 1 3 {displaystyle {frac {1}{3}}} 被表示为无限序列 { 0 , 3 , 3 , 3 , 3 , … } {displaystyle {0,3,3,3,3,ldots }} 。连分数表示法是避免了实数表示的这两个问题。让我们考虑如何描述一个数如 415 93 {displaystyle {frac {415}{93}}} ，约为4.4624。近似为4，而实际上比4多一点，约为 4 + 1 2 {displaystyle 4+{frac {1}{2}}} 。但是在分母中的2是不准确的；更准确的分母是比2多一点，约为 2 + 1 6 {displaystyle 2+{frac {1}{6}}} ，所以 415 93 {displaystyle {frac {415}{93}}} 近似为 4 + 1 2 + 1 6 {displaystyle 4+{frac {1}{2+{frac {1}{6}}}}} 。但是在分母中的6是不准确的；更准确分母是比6多一点，实际是 6 + 1 7 {displaystyle 6+{frac {1}{7}}} 。所以 415 93 {displaystyle {frac {415}{93}}} 实际上是 4 + 1 2 + 1 6 + 1 7 {displaystyle 4+{frac {1}{2+{frac {1}{6+{frac {1}{7}}}}}}} 。这样才准确。去掉表达式 4 + 1 2 + 1 6 + 1 7 {displaystyle 4+{frac {1}{2+{frac {1}{6+{frac {1}{7}}}}}}} 中的冗余部分可得到简略记号 [ 4 ; 2 , 6 , 7 ] {displaystyle } 。实数的连分数表示可以用这种方式定义。它有一些可取的性质：最后一个性质非常重要，且传统的小数点表示就不能如此。数的截断小数表示产生这个数的有理数逼近，但通常不是非常好的逼近。例如，截断 1 7 = 0.142   857 … {displaystyle {frac {1}{7}}=0.142 857ldots } 在各种位置上产生逼近比，如 142 1000 {displaystyle {frac {142}{1000}}} 、 14 100 {displaystyle {frac {14}{100}}} 和 1 10 {displaystyle {frac {1}{10}}} 。但是明显的最佳有理数逼近是“ 1 7 {displaystyle {frac {1}{7}}} ”自身。 π {displaystyle pi } 的截断小数表示产生逼近比，如 31415 10000 {displaystyle {frac {31415}{10000}}} 和 314 100 {displaystyle {frac {314}{100}}} 。 π {displaystyle pi } 的连分数表示开始于 [ 3 ; 7 , 15 , 1 , 292 , … ] {displaystyle } 。截断这个表示产生极佳的有理数逼近3、 22 7 {displaystyle {frac {22}{7}}} 、 333 106 {displaystyle {frac {333}{106}}} 、 355 113 {displaystyle {frac {355}{113}}} 、 103   993 33   102 {displaystyle {frac {103 993}{33 102}}} 、...。 314 100 {displaystyle {frac {314}{100}}} 和 333 106 {displaystyle {frac {333}{106}}} 的分母相当接近，但近似值 314 100 {displaystyle {frac {314}{100}}} 的误差是远高于 333 106 {displaystyle {frac {333}{106}}} 的19倍。作为对 π {displaystyle pi } 的逼近， [ 3 ; 7 , 15 , 1 ] {displaystyle } 比3.1416精确100倍。考虑实数 r {displaystyle r} 。设 i {displaystyle i} 是 r {displaystyle r} 的整数部分，而 f {displaystyle f} 是它的小数部分。则r的连分数表示是 [ i ; … ] {displaystyle } ，这里的“…”是 1 f {displaystyle {frac {1}{f}}} 的连分数表示。习惯上用分号取代第一个逗号。要计算实数 r {displaystyle r} 的连分数表示，首先写下 r {displaystyle r} 的整数部分（下取整），然后从 r {displaystyle r} 减去这个整数部分。如果差为0则停止；否则找到这个差的倒数并重复。这个过程将终止，当且仅当 r {displaystyle r} 是有理数。数3.245还可以表示为连分数展开 [ 3 ; 4 , 12 , 3 , 1 ] {displaystyle } ；参见下面的有限连分数。这个算法适合于实数，但如果用浮点数实现的话，可能导致数值灾难。作为替代，任何浮点数是一个精确的有理数（在现代计算机上分母通常是2的幂，在电子计算器上通常是10的幂），所以欧几里得算法的变体可以用来给出精确的结果。可以把连分数简写作：或者，用Pringsheim的记法写作：还有一个有关的记法：有时使用尖括号，如：在使用尖括号的时候，分号是可选的。还可以定义无限简单连分数为极限：对于正整数a1, a2, a3 ...的任意选择，皆存在此一极限。或者可以用高斯的记法所有有限连分数都表示一个有理数，而所有有理数都可以按两种不同的方式表示为有限连分数。这两种表示除了最终项之外都是一致的。在较长的连分数表示，其最终项是1；较短的表示去掉了最后的1，而向新的终项加1。在短表示中的最终项因此大于1，如果短表示至少有两项的话。其符号表示：例如：有理数的连分数表示和它的倒数除了依据这个数小于或大于1而分别左移或右移一位以外是相同的。换句话说， [ a 0 ; a 1 , a 2 , a 3 , … , a n ] {displaystyle } 和 [ 0 ; a 0 , a 1 , a 2 , … , a n ] {displaystyle } 互为倒数。这是因为如果 a   {displaystyle a } 是整数，接着如果 x < 1   {displaystyle x<1 } ，则 x = 0 + 1 a + 1 b   {displaystyle x=0+{tfrac {1}{a+{frac {1}{b}}}} } 且 1 x = a + 1 b   {displaystyle {tfrac {1}{x}}=a+{tfrac {1}{b}} } ，而且如果 x > 1   {displaystyle x>1 } ，则 x = a + 1 b   {displaystyle x=a+{tfrac {1}{b}} } 且 1 x = 0 + 1 a + 1 b   {displaystyle {tfrac {1}{x}}=0+{tfrac {1}{a+{frac {1}{b}}}} } 带有最后的数生成对 x   {displaystyle x } 和它的倒数是同样的的连分数的余数。例如：所有无限连分数都是无理数，而所有无理数可用一种精确的方式表示为无限连分数。无理数的无限连分数表示是非常有用的，因为它的初始段提供了对这个数的优异的有理数逼近。这些有理数可以叫做这个连分数的收敛（convergent，也译为“渐进”）。所有偶数编号的收敛都小于最初的数，而奇数编号的收敛都大于它。对于连分数 [ a 0 ; a 1 , a 2 , … ] {displaystyle } ，前四个收敛（编号 0 {displaystyle 0} 到 3 {displaystyle 3} ）是用普通语言来说，第3个收敛的分子是借由第3个商（ a 2 {displaystyle a_{2}} ）乘上第2个收敛的分子，并加上第1个收敛的分子而成。分母的形成也很类似。如果找到连续的收敛，带有分子 h 1 , h 2 , … {displaystyle h_{1},h_{2},ldots } 和分母 k 1 , k 2 , … {displaystyle k_{1},k_{2},ldots } ，则相关的递归关系是：h n = a n h n − 1 + h n − 2 , k n = a n k n − 1 + k n − 2 {displaystyle h_{n}=a_{n}h_{n-1}+h_{n-2},qquad k_{n}=a_{n}k_{n-1}+k_{n-2}} 连续的收敛由如下公式给出如果 a 0 , a 1 , a 2 , … {displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},ldots } 是正整数的无限序列，递归的定义序列 h n {displaystyle h_{n}} 和 k n {displaystyle k_{n}} ：对于任何正数 x ∈ R {displaystyle xin mathbb {R} }[ a 0 , a 1 , a 2 , … ] {displaystyle } 的收敛以给出。如果对连分数的第n个收敛是 h n / k n {displaystyle h_{n}/k_{n}} ，则推论1：每个收敛都在它的最低的那些项中（如果 h n {displaystyle h_{n}} 和 k n {displaystyle k_{n}} 有不寻常的公约数，则它可除 k n h n − 1 − k n − 1 h n {displaystyle k_{n}h_{n-1}-k_{n-1}h_{n}} ，这当然是不可能的）。推论2：在连续的收敛之间的差是单位分数：推论3：连分数等价于交替（alternating）项的级数：推论4：矩阵的行列式值为正1或负1，因此属于2x2 幺模矩阵 S ∗ L ( 2 , Z ) {displaystyle S^{*}L(2,mathbb {Z} )} 的群。每个（第 s {displaystyle s} 个）都比任何前面（第 r {displaystyle r} 个）收敛更接近于后续的（第 n {displaystyle n} 个）收敛。用符号来说，如果第 n {displaystyle n} 个收敛是 [ a 0 ; a 1 , a 2 , … a n ] = x n {displaystyle =x_{n}} ，则对于所有 r < s < n {displaystyle r<s<n} 。推论1：奇数收敛（在第 n {displaystyle n} 个之前）持续递增而总是小于 x n {displaystyle x_{n}} 。推论2：偶数收敛（在第 n {displaystyle n} 个之前）持续递减而总是大于 x n {displaystyle x_{n}} 。推论1：任何收敛都比其分母小于这个收敛的分母的任何其他分数更接近于这个连分数。推论2：立即前导于一个大商的任何收敛都是对这个连分数的接近逼近。如果 h n − 1 k n − 1 {displaystyle {frac {h_{n-1}}{k_{n-1}}}} 和 h n k n {displaystyle {frac {h_{n}}{k_{n}}}} 是连续的收敛，则如下形式的任何分数这里的 a {displaystyle a} 是非负整数，而分子和分母在 n {displaystyle n} 和 n + 1 {displaystyle n+1} 项（包含它们）之间，叫做“半收敛”、次收敛或中间分数。这个术语经常意味着排除了是收敛的可能性，而不是收敛是一种半收敛。对实数 x {displaystyle x} 的连分数展开的半收敛包括了所有比有更小分母的任何逼近都好的有理数逼近。另一个有用的性质是连续的半收敛 a b {displaystyle {frac {a}{b}}} 和 c d {displaystyle {frac {c}{d}}} 有着 a d − b c = ± 1 {displaystyle ad-bc=pm 1} 。连分数理论在丢番图逼近领域起基础性的作用，可以解决实数的最佳逼近问题，具体可参阅相应主页面。事实上，最初发展连分数理论的动机正是为了解决实数的最佳逼近问题。