运算符

✍ dations ◷ 2025-04-24 21:20:55 #运算符
算子(英语:Operator)是将一个元素在向量空间(或模)中转换为另一个元素的映射。 算子对于线性代数和泛函分析都至关重要,它在纯数学和应用数学的许多其他领域中都有应用。 例如,在经典力学中,导数的使用无处不在,而在量子力学中,可观察量由埃尔米特算子表示。 各种算子可以具有包括线性、连续性和有界性等的重要性质。设U、V是两个向量空间。 从U到V的任意映射被称为算子。 令V是域K上的向量空间。我们可以定义包含所有从U到V算子的集合上的向量空间结构(A和B是算子):对所有A, B: U→V,x ∈ {displaystyle in } U和α ∈ {displaystyle in } K。从一个向量空间到自身的算子构成一个辛结合代数:单位元是恒等映射(通常记为E、I或id)。令U和V是同一有序域(例如 R {displaystyle mathbf {R} } )上的两个赋范向量空间。从U到V的线性算子被称为有界,如果存在C>0满足对所有x ∈ {displaystyle in } U。有界算子构成一个向量空间。在这个向量空间上,我们可以引入一个与U和V的范数相容的范数:对于从U到自身的算子有任何具有这一性质的辛赋范代数被称为Banach代数。 可以将谱理论推广到这样的代数上。 C*-代数是具有一些附加结构的Banach代数,在量子力学中起重要作用。泛函是将向量空间映射到其底域的算子。 广义函数理论和变分法是泛函的重要应用。 两者对理论物理都非常重要。线性算子是最常见的算子。设U和V是域K上的向量空间。算子A:U→V被称为线性,如果对所有x、y ∈ {displaystyle in } U和α、β ∈ {displaystyle in } K。线性算子的重要性在于它是向量空间之间的态射。在有限维情形下,线性算子可以以下面的方式由矩阵表示。 设 K {displaystyle K} 是一个域, U {displaystyle U} 和 V {displaystyle V} 是 K {displaystyle K} 上有限维向量空间。选择一组基 u 1 , … , u n {displaystyle mathbf {u} _{1},ldots ,mathbf {u} _{n}} U {displaystyle U} 上和一组基 v 1 , … , v m {displaystyle mathbf {v} _{1},ldots ,mathbf {v} _{m}} 在 V {displaystyle V} 上。令 x = x i u i {displaystyle mathbf {x} =x^{i}mathbf {u} _{i}} 为 U {displaystyle U} 上的任意向量(假设有爱因斯坦求和约定),且有 A : U → V {displaystyle A:Uto V} 是线性算子。则有所以有 a i j := ( A u i ) j ∈ K {displaystyle a_{i}^{j}:=(Amathbf {u} _{i})^{j}in K} 是算子 A {displaystyle A} 在固定基底下的矩阵表示。 a i j {displaystyle a_{i}^{j}} 不依赖于 x {displaystyle x} 的选取,且有 A x = y {displaystyle Amathbf {x} =mathbf {y} } 当且仅当 a i j x i = y j {displaystyle a_{i}^{j}x^{i}=y^{j}} 。因此在固定基底下的n×m矩阵一一映射到从 U {displaystyle U} 到 V {displaystyle V} 的线性算子。与有限维向量空间之间的算子直接相关的重要概念包括秩、行列式、逆算子和特征空间。线性算子在无限维情形也起着重要作用。秩和行列式的概念不能扩展到无限维矩阵。 这就是为什么在无限维情况下研究线性算子(和一般的算子)时采用非常不同的技术的原因。 在无限维情况下的对线性算子的研究被称为泛函分析。实数序列(或更一般地任意向量空间中的向量序列)的空间本身构成无限维向量空间。 最重要的情形是实数或复数序列,这些空间与线性子空间一起被称为序列空间。 这些空间上的算子被称为序列变换。巴拿赫空间上的有界线性算子在标准算子范数意义下构成Banach代数。 Banach代数理论将特征空间理论推广到更一般的谱的概念。在几何中,有时研究向量空间上的附加结构。 在这些研究中,将这些向量空间一一映射到自身的算子非常有用,它们通过构造自然地构成群。例如保持向量空间结构的双射算子正是可逆线性算子。 它们构成了一般线性群。 它们算子加法下不是向量空间,例如, id和-id都是可逆的(双射),但它们的和为0,不可逆。在这样的空间上保持欧几里得度量的算子构成等度群,保持原型不变的子群被称为正交群。正交群中的保角算子构成特殊正交群。概率论中也涉及到算子,如期望、方差、协方差、阶乘等。从泛函分析的角度来说,微积分是研究两个线性算子:微分算子 d d t {displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}} 和不定积分算子 ∫ 0 t {displaystyle int _{0}^{t}} 。傅里叶变换在应用数学特别是物理学和信号处理中都是有用的工具。 它是另一种积分算子; 它的意义主要在于它以一种有效的可逆的方式将一个时域上的函数转换为频域上的函数。 因为是一个可逆变换算子,所以没有信息损失。 在周期函数这一简单情况下,该结果是基于定理任何连续周期函数可以表示为一系列正弦波和余弦波的和:(a0, a1, b1, a2, b2, ...)实际上是无限维向量空间ℓ2的元素,因此傅里叶级数是线性算子。当处理R → C的一般函数时,变换采用积分形式:拉普拉斯变换是另一种积分算子,用于简化求解微分方程的过程。对于f = f(s),拉普拉斯变换定义如下:三个算子是向量微积分的关键:作为从向量微积分算子到物理、工程和张量空间的延伸,梯度、散度和旋度算子也经常与张量微积分相关联。

相关

  • 发展经济学发展经济学(英语:Development economics)是经济学的分支之一,主要研究对象为贫困落后的农业国家或发展中国家如何实现工业化、摆脱贫困、走向富裕的过程。威廉·阿瑟·刘易斯、
  • 欧托-曼格语系欧托-曼格语系(Oto-Manguean languages、Otomanguean)是一个包含多个美洲原住民语言的大语系。现在只有墨西哥的原住民仍然在使用着。但是在过去,欧托-曼格语系的Manguean最南
  • 地中海型气候地中海式气候,又称作地中海气候、副热带夏干气候,其分布于中纬度地区(约南北纬30至40度)的大陆西岸地区,包括地中海沿岸地区、黑海沿岸地区、美国的加利福尼亚州、澳洲西南部伯斯
  • 布拉克詹姆士·怀特·布拉克爵士,OM,FRS,FRSE,FRCP(英语:Sir James Whyte Black,1924年6月14日-2010年3月22日),苏格兰药理学家,发明药物Propranolol和合成出Cimetidine。他因这些成就而在198
  • Statistics Netherlands荷兰中央统计局(荷兰文:Centraal Bureau voor de Statistiek, CBS;英文:Statistics Netherlands)又称荷兰统计局,缩写为CBS,成立于1899年,为专门收集荷兰统计资讯的政府部门。隶属于
  • 卡尔顿·费斯克卡尔顿·欧尼斯特·费斯克(Carlton Ernest Fisk,1947年12月26日-,出生于佛蒙特州柏罗佛斯)曾经是美国职棒大联盟的捕手,球员时期效力过波士顿红袜和芝加哥白袜,并在2000年以79.6%的
  • 联合国秘书长办公厅联合国秘书长办公厅(法语:Cabinet du Secrétaire Général des Nations Unies ; 英语:Executive Office of the Secretary-General,缩写为EOSG)是联合国秘书处的内设机构之一,
  • 同心圆在几何学里,同心的物体的中心或中心轴都在同一位置。圆圈、圆球、圆柱、圆环,都可以是同心的。称同心的圆圈为同心圆,同心的圆球为同心球,同心的圆柱为同心柱,同心的圆环为同心环
  • 智商智能商数(德语:Intelligenzquotient),简称智商(德语:IQ),是用智力测试测量人在其年龄段的认知能力(“智力”)的得分。人的智商呈正态分布,目前主要的智力测验(包含最常被使用的“韦克斯
  • 临界角全内反射(英语:Total Internal Reflection),又称全反射,是一种光学现象。当光线经过两个不同折射率的介质时,部分的光线会于介质的界面被折射,其余的则被反射。但是,当入射角比临界