运算符

✍ dations ◷ 2025-07-11 16:11:29 #运算符
算子(英语:Operator)是将一个元素在向量空间(或模)中转换为另一个元素的映射。 算子对于线性代数和泛函分析都至关重要,它在纯数学和应用数学的许多其他领域中都有应用。 例如,在经典力学中,导数的使用无处不在,而在量子力学中,可观察量由埃尔米特算子表示。 各种算子可以具有包括线性、连续性和有界性等的重要性质。设U、V是两个向量空间。 从U到V的任意映射被称为算子。 令V是域K上的向量空间。我们可以定义包含所有从U到V算子的集合上的向量空间结构(A和B是算子):对所有A, B: U→V,x ∈ {displaystyle in } U和α ∈ {displaystyle in } K。从一个向量空间到自身的算子构成一个辛结合代数:单位元是恒等映射(通常记为E、I或id)。令U和V是同一有序域(例如 R {displaystyle mathbf {R} } )上的两个赋范向量空间。从U到V的线性算子被称为有界,如果存在C>0满足对所有x ∈ {displaystyle in } U。有界算子构成一个向量空间。在这个向量空间上,我们可以引入一个与U和V的范数相容的范数:对于从U到自身的算子有任何具有这一性质的辛赋范代数被称为Banach代数。 可以将谱理论推广到这样的代数上。 C*-代数是具有一些附加结构的Banach代数,在量子力学中起重要作用。泛函是将向量空间映射到其底域的算子。 广义函数理论和变分法是泛函的重要应用。 两者对理论物理都非常重要。线性算子是最常见的算子。设U和V是域K上的向量空间。算子A:U→V被称为线性,如果对所有x、y ∈ {displaystyle in } U和α、β ∈ {displaystyle in } K。线性算子的重要性在于它是向量空间之间的态射。在有限维情形下,线性算子可以以下面的方式由矩阵表示。 设 K {displaystyle K} 是一个域, U {displaystyle U} 和 V {displaystyle V} 是 K {displaystyle K} 上有限维向量空间。选择一组基 u 1 , … , u n {displaystyle mathbf {u} _{1},ldots ,mathbf {u} _{n}} U {displaystyle U} 上和一组基 v 1 , … , v m {displaystyle mathbf {v} _{1},ldots ,mathbf {v} _{m}} 在 V {displaystyle V} 上。令 x = x i u i {displaystyle mathbf {x} =x^{i}mathbf {u} _{i}} 为 U {displaystyle U} 上的任意向量(假设有爱因斯坦求和约定),且有 A : U → V {displaystyle A:Uto V} 是线性算子。则有所以有 a i j := ( A u i ) j ∈ K {displaystyle a_{i}^{j}:=(Amathbf {u} _{i})^{j}in K} 是算子 A {displaystyle A} 在固定基底下的矩阵表示。 a i j {displaystyle a_{i}^{j}} 不依赖于 x {displaystyle x} 的选取,且有 A x = y {displaystyle Amathbf {x} =mathbf {y} } 当且仅当 a i j x i = y j {displaystyle a_{i}^{j}x^{i}=y^{j}} 。因此在固定基底下的n×m矩阵一一映射到从 U {displaystyle U} 到 V {displaystyle V} 的线性算子。与有限维向量空间之间的算子直接相关的重要概念包括秩、行列式、逆算子和特征空间。线性算子在无限维情形也起着重要作用。秩和行列式的概念不能扩展到无限维矩阵。 这就是为什么在无限维情况下研究线性算子(和一般的算子)时采用非常不同的技术的原因。 在无限维情况下的对线性算子的研究被称为泛函分析。实数序列(或更一般地任意向量空间中的向量序列)的空间本身构成无限维向量空间。 最重要的情形是实数或复数序列,这些空间与线性子空间一起被称为序列空间。 这些空间上的算子被称为序列变换。巴拿赫空间上的有界线性算子在标准算子范数意义下构成Banach代数。 Banach代数理论将特征空间理论推广到更一般的谱的概念。在几何中,有时研究向量空间上的附加结构。 在这些研究中,将这些向量空间一一映射到自身的算子非常有用,它们通过构造自然地构成群。例如保持向量空间结构的双射算子正是可逆线性算子。 它们构成了一般线性群。 它们算子加法下不是向量空间,例如, id和-id都是可逆的(双射),但它们的和为0,不可逆。在这样的空间上保持欧几里得度量的算子构成等度群,保持原型不变的子群被称为正交群。正交群中的保角算子构成特殊正交群。概率论中也涉及到算子,如期望、方差、协方差、阶乘等。从泛函分析的角度来说,微积分是研究两个线性算子:微分算子 d d t {displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}} 和不定积分算子 ∫ 0 t {displaystyle int _{0}^{t}} 。傅里叶变换在应用数学特别是物理学和信号处理中都是有用的工具。 它是另一种积分算子; 它的意义主要在于它以一种有效的可逆的方式将一个时域上的函数转换为频域上的函数。 因为是一个可逆变换算子,所以没有信息损失。 在周期函数这一简单情况下,该结果是基于定理任何连续周期函数可以表示为一系列正弦波和余弦波的和:(a0, a1, b1, a2, b2, ...)实际上是无限维向量空间ℓ2的元素,因此傅里叶级数是线性算子。当处理R → C的一般函数时,变换采用积分形式:拉普拉斯变换是另一种积分算子,用于简化求解微分方程的过程。对于f = f(s),拉普拉斯变换定义如下:三个算子是向量微积分的关键:作为从向量微积分算子到物理、工程和张量空间的延伸,梯度、散度和旋度算子也经常与张量微积分相关联。

相关

  • 内科医师人体解剖学 - 人体生理学 组织学 - 胚胎学 人体寄生虫学 - 免疫学 病理学 - 病理生理学 细胞学 - 营养学 流行病学 - 药理学 - 毒理学医生又称医师,在中国古代称大夫或郎中
  • 物质物质具有科学上和哲学上的双重含义,详见下面。物质是一个科学上没有明确定义的词,一般是指静止质量不为零的东西。物质也常用来泛称所有组成可观测物体的成分 。所有可以用肉
  • 联合国日联合国日,于1948年由联合国大会宣布设立,以纪念于联合国宪章生效三周年。联合国日定为每年10月24日。联合国日的设立是意图让人们记住联合国的目标和成就。联合国日是10月20日
  • 备忘录备忘录(英语:memorandum,简写为 memo),意指任何一种能够帮助记忆,简单说明主题与相关事件的书面资料。它源自于拉丁语:memorandum est,由动词 memoro (原义是“提及、回忆、相关的”),
  • 霍奇金氏病霍奇金氏淋巴瘤(英语:Hodgkin's lymphoma)又称霍奇金氏病、何杰金氏病,或何杰金氏淋巴瘤,为淋巴瘤的一型,是一种淋巴细胞的癌变,症状包含发烧、夜间盗汗(英语:Night sweats),以及体重减
  • 爱因斯坦卫星爱因斯坦卫星(Einstein Observatory)是哈佛-史密松天体物理中心和美国宇航局研制的X射线天文卫星,于1978年11月13日发射升空,原名“高能天文台2号”(HEAO-2),为纪念著名物理学家爱
  • 限速酶限速酶(英语:rate-limiting enzyme)属于代谢过程。不单独指一种酶,有相对性。指在生物化学反应通路中催化反应速率最慢的酶,是限制总反应速度的酶,同时也决定了总反应速率。限速酶
  • 阿伊阿伊为古埃及新王国时期第十八王朝的倒数第二位法老(约前1323年至约前1319年在位或约公元前1327年-公元前1323年在位)。阿伊的王位名Kheperkheperure意为“永恒是拉的表现”而
  • 住棚节住棚节(希伯来语:סוכות或סֻכּוֹת,音译为Succoth或Sukkos,意为棚)是圣经中规定的犹太教三大节期之一,庆祝时间是从每年秋季的希伯来历提斯利月15日(公历9、10月间)开始,持
  • 高压氧治疗高压氧治疗,或简称高压氧,英文:Hyperbaric oxygen therapy (HBOT) ,乃医学上利用高压的氧气来提供治疗的方式。高压氧治疗利用了几个原理:高压氧最主要的治疗适应症包括:以上除一