多元微积分

✍ dations ◷ 2025-07-19 07:06:16 #多变量微积分

在微积分学中，多元微积分（也称为多变量微积分，英语：Multivariable calculus，multivariate calculus）是涉及多元函数的微积分学的统称。相较于只有单个变量的一元微积分，多元微积分在函数的求导和积分等运算中含有至少两个变量。例如微分多元函数时，就引申出偏微分、全微分，对多元函数进行积分计算时，又会涉及多重积分。

多元函数的概念很早就出现在物理学中，因为人们常常要研究取决于多个其他变量的物理量。例如托马斯·布拉德华曾试图寻找运动物体的速度、动力和阻力之间的关系。:210不过从十七世纪开始，这个概念有了长足发展。1667年，詹姆斯·格雷果里在一文中给出了多元函数最早的定义之一：“（多元）函数是由几个量经过一系列代数运算或别的可以想象的运算得到的量。”:216十八世纪，人们发展了基于无穷小量的微积分，，并研究了常微分方程和偏微分方程的解法。那时多元函数的运算与一元函数类似。直到十九世纪末和二十世纪，人们才严格建立起偏导数（包括二阶偏导数）的计算法则。

多元函数是指定义域为 $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$ 元组 $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ $x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ ）对应唯一一个值域中的元素，记为 $f(x)$ $f(x)$ 或 $f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ $f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ ，如下所示：

如果线性空间 $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$ $\scriptstyle \mathbb{R} ^{n}$ 和 $\scriptstyle \mathbb {R} ^{m}$ $\scriptstyle \mathbb{R} ^{m}$ 上赋有范数，就可以研究这种多元函数的连续性和可微性。如果固定除一个变量外的其他变量，多元函数的研究就可归结为值域是 $\scriptstyle \mathbb {R} ^{m}$ $\scriptstyle \mathbb{R} ^{m}$ 的函数。如果分别考虑坐标函数的话，甚至可归结为值域是 $\scriptstyle \mathbb {R}$ $\scriptstyle \mathbb{R}$ 的函数。比如，这种函数的导数存在的话，就称为原来多元函数的偏导数。

数学分析中的经典概念可以推广到多元函数，但也要引入线性代数中的概念。

设 $E {\displaystyle E}$ $E$ 是 $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$ $\scriptstyle \mathbb{R} ^{n}$ 中的一个开集， $f {\displaystyle f}$ $f$ 是定义在 $E {\displaystyle E}$ $E$ 上的函数。给 $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$ $\scriptstyle \mathbb{R} ^{n}$ 赋予一个范数之后，就可以这样定义连续性：对 $E {\displaystyle E}$ $E$ 中的每个点 $a {\displaystyle a}$ $a$ ， $f {\displaystyle f}$ $f$ 在 $a {\displaystyle a}$ $a$ 处连续当且仅当

在多元微积分领域，对函数极限和连续性的研究可导致许多违反直觉的结果。例如，一些二元标量函数，当 $x {\displaystyle x}$ $x$ ， $y {\displaystyle y}$ $y$ 沿不同路径（例如直线与抛物线）趋近于极限点时，函数的值不同。:19-22例如，函数

沿任何直线 $y=kx$ $y=kx$ 趋近于原点 $(0,0)$ $(0,0)$ 时，f趋近于0。然而，当变量x，y沿抛物线 $y=x^{2}$ $y=x^2$ 趋近于原点时，f趋近于0.5。由于沿不同路径取极限时函数值不同，故该函数在原点的极限不存在。

每一个变量的连续不是多元函数连续的充分条件::17-19例如, 含有两个变量的实数函数 $f(x,y)$ $f(x,y)$ ，对于每一个固定的 $y {\displaystyle y}$ $y$ ， $f {\displaystyle f}$ $f$ 关于 $x {\displaystyle x}$ $x$ 的函数在其定义域内连续。同样的，对于每一个固定的 $x {\displaystyle x}$ $x$ ， $f {\displaystyle f}$ $f$ 关于 $y {\displaystyle y}$ $y$ 的函数在其定义域也内连续，但这不能说明原函数连续。

很容易验证，在实数域中，定义函数： $f_{y}(x):=f(x,y)$ $f_{y}(x):=f(x,y)$ ，则对于每一个固定的 $y {\displaystyle y}$ $y$ ， $f_{y}(x)$ $f_{y}(x)$ 在 $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ 上连续。同理，函数 $f_{x}$ $f_x$ 也是关于 $y {\displaystyle y}$ $y$ 的连续函数。然而，函数 $f {\displaystyle f}$ $f$ 在原点是不连续的。考虑序列 $f\left({\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}\right)$ $f\left({\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}\right)$ ( $n {\displaystyle n}$ $n$ 为自然数)，若在原点连续其结果应为 $f(0,0)=0$ $f(0,0)=0$ 。然而，通过计算知其在原点的极限为 $\lim _{n\to \infty }f\left({\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}\right)=1.$ $\lim _{{n\to \infty }}f\left({\frac {1}{n}},{\frac {1}{n}}\right)=1.$ 。因此， $f {\displaystyle f}$ $f$ 在原点不连续。

偏导数将导数的概念推广到更高维度。一个多变量函数的偏导数是一个相对于一个变量的导数，所有其他变量视作常数，保持不变。:26ff

偏导数可以组合起来，创造出形式更复杂的导数。在向量分析中，Nabla算子( $\nabla$ $\nabla$ )依据偏导数被用于定义这些概念：梯度，散度，旋度。在含有偏导数的矩阵中，雅可比矩阵可以用来表示任意维空间之间的函数的导数。因此，导数可理解为从函数定义域到函数值域的逐点变化的线性映射。

含有偏导数的微分方程称为偏微分方程或“PDE”。这些方程较只含有一个变量的常微分方程更难解出。:654ff

重积分将积分的概念拓展至任意数量的变量。二重积分和三重积分可用于计算平面和空间中区域的面积和体积。富比尼定理给出了使用逐次积分的方法计算二重积分的条件。:367ff

可以用曲面积分和曲线积分在曲面和曲线等流形上进行积分。

在一元微积分中，微积分基本定理建立了导数与积分的联系。多元微积分中导数与积分之间的联系，体现为矢量微积分的积分定理：:543ff

在对多元微积分更深层次的研究中，可以认为以上四条定理是一个更一般的定理的具体表现，即广义斯托克斯定理，后者适用于在流形上对微分形式进行积分。

向量分析研究欧式空间中足够光滑的标量和矢量场，即欧式空间 $E {\displaystyle E}$ $E$ 中的一个开集到 $\scriptstyle \mathbb {R}$ $\scriptstyle \mathbb{R}$ 和 $E {\displaystyle E}$ $E$ 的可微函数。因此向量分析是多元微积分的一个分支微分几何里的内容。

不过，向量分析的重要性源自它在物理学和工程科学中的广泛应用，所以上面的 $E {\displaystyle E}$ $E$ 常限制为 $\scriptstyle \mathbb {R} ^{3}$ $\scriptstyle \mathbb{R} ^{3}$ ，即通常的三维空间。在这种语境下，矢量场给空间中的每个点赋予一个带有三个实数分量的矢量，而标量场给每个点赋予一个实数。以湖水为例，湖水各处的温度形成一标量场，而各处的速度则形成一矢量场。因此，矢量分析是流体力学、气象学、静电学、电动力学和地球物理学的基本工具。

相关

马库斯·瓦罗马库斯·特伦提乌斯·瓦罗（Marcus Terentius Varro，前116年－前27年）是古罗马学者和作家，先后写有74部著作以渊博学识受到当时和中世纪学者的崇敬。他唯一流传到现在的完整作品是
罗伯特·奥本海默朱利叶斯·罗伯特·奥本海默（英语：Julius Robert Oppenheimer，/ˈɒpənˌhaɪmər/，1904年4月22日－1967年2月18日），美国理论物理学家，曾于加利福尼亚大学伯克利分校任教物理。第二
消费性电子产品消费电子产品（英语：Consumer electronics），是指供日常消费者生活使用之电子产品。它属于特定的家用电器，内有电子元件，通常会应用于娱乐、通讯以及文书用途，例如电话、音响器材、DV
吴尔古代吴尔古代（满语：ᡠᡵᡤᡡᡩᠠᡳ，穆麟德：Urgūdai；或满语：ᡠᠯᡥᡡᡩᠠ，穆麟德：Ulhūda），哈达那拉氏，末代哈达国主，前任国主孟格布禄之子，因系努尔哈赤之女莽古济之夫，亦称吴尔古代额驸，又因
三角洲部队“Delta Force”（三角洲部队)The Unit （这个单位）Combat Applications Group (CAG；战斗应用群)D-Boy（D男孩）Army Compartmented Element (ACE ；陆军分区元素)1st SFOD-DOperator （操
卡尔弗特卡尔弗特县（Calvert County, Maryland）是美国马里兰州南部的一个县，西临帕塔克森特河，东临切萨皮克湾。面积894平方公里。根据美国2000年人口普查，共有人口86,474人。县治弗雷德
维京群岛维尔京群岛（英语：Virgin Islands）是位于加勒比海上的背风群岛中部地区内的一个小群岛，在政治上被划分成英属维尔京群岛和美属维尔京群岛两个部分，其中前者为英国海外领土，而后者则
亚当峰亚当峰（Adam's Peak），僧伽罗语称Sri Padastanaya或Samanaliya，简称Sri Pada，泰米尔语称Shivanolipatha Malai或Shiva padam，均可译为圣足山，是斯里兰卡中部一座山峰，海拔2,243米。该
蒙格埃尔बाप तहसील蒙格埃尔（Munger），是印度比哈尔邦Munger县的一个城镇。总人口187311（2001年）。该地2001年总人口187311人，其中男性100374人，女性86937人；0—6岁人口28076人，其中男1
桃乐丝·维斯曼桃乐丝·维斯曼（英语：Doris Wishman，1912年6月1日－2002年8月17日），（生于纽约市卒于迈亚密），犹太裔美国女剧作家、电影导演及独立电影制片人，在四十二年的电影生涯共拍了三十九出电影。