偏微分方程

✍ dations ◷ 2025-04-25 03:59:26 #偏微分方程
偏微分方程(英语:partial differential equation,缩写作PDE)指含有未知函数及其偏导数的方程。描述自变量、未知函数及其偏导数之间的关系。符合这个关系的函数是方程的解。偏微分方程分为线性偏微分方程与非线性偏微分方程,常常有几个解而且涉及额外的边界条件。方程中常以u为未知数及偏微分,如下:用于空间偏微分的梯度运算子 ∇ = ( ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) {displaystyle nabla =({partial over partial _{x}},{partial over partial _{y}},{partial over partial _{z}})}时间偏微分 u ˙ = ∂ u ∂ t {displaystyle {dot {u}}={partial u over partial t}} ,线性偏微分方程的例子如下:适用于重力场问题的求解适用于所有物质或电荷的重力场或静电场。未知函数u(x,y,z,t):其中k代表该材料.一些线性二阶偏微分方程可以分为:抛物线方程,双曲线方程和椭圆方程。其他的像Euler–Tricomi方程在不同应用领域中也有不同的形式。这种分类便于在解偏微分方程时寻找初始条件提供依据。一阶偏微分方程是指和未知数的一阶导数有关的偏微分方程,表示式为:其中参数A,B是x,y的变量。表示式为:其中参数A,B,C是x,y的变量。如果在xy平面上有 A 2 + B 2 + C 2 > 0 {displaystyle A^{2}+B^{2}+C^{2}>0} ,该偏微分方程在该平面上为二阶偏微分方程。二阶偏微分方程类似以下的圆锥方程:该二阶偏微分方程可分类为:抛物线方程,双曲线方程和椭圆方程,其分类方式为:如果偏微分方程的系数不是一个常数,该偏微分方程可能不属于以上几种类别之一,而可能是混合形式方程。一个简单的例子为Euler–Tricomi方程:该方程称为椭圆双曲线方程。因为当x < 0时是椭圆形式,当x > 0时是双曲线形式。偏微分方程解中任意函数的出现必然产生解的各种差异,考虑到几乎不知道这些解的详情,在大多数问题中惯常的目标是找满足合适的和确定的条件(例如在空间的边界处和某固定时刻)的那些解,要求这些条件可以确定唯的解是自然的要求。而且还有更进一步的考虑,即这些条件的大小或量的微小改变在解本身也带来相应地小的改变。法国数学家阿达马强调后一方面,当解不连续地依赖于原始数据变化时称此问题是不适定的或提得不正确的对于双变量的Laplace方程:∂ 2 z ∂ x 2 + ∂ 2 z ∂ y 2 = 0 ( y > 0 ) {displaystyle {frac {partial ^{2}z}{partial x^{2}}}+{frac {partial ^{2}z}{partial y^{2}}}=0(y>0)}在边界条件z ( x , 0 ) = 0 {displaystyle z(x,0)=0} 和 ∂ z ( x , 0 ) ∂ y = 1 n cos ⁡ n x {displaystyle {frac {partial z(x,0)}{partial y}}={frac {1}{n}}cos nx}之下,符合条件的解为z ( x , y ) = 1 n 2 sinh ⁡ ( n y ) cos ⁡ ( n x ) {displaystyle z(x,y)={frac {1}{n^{2}}}sinh(ny)cos(nx)}当 n → + ∞ {displaystyle {begin{smallmatrix}nrightarrow +infty end{smallmatrix}}} 时 其数据在 y = 0 {displaystyle {begin{smallmatrix}y=0end{smallmatrix}}} 处 z {displaystyle {begin{smallmatrix}zend{smallmatrix}}} 和 ∂ z ∂ y {displaystyle {begin{smallmatrix}{frac {partial z}{partial y}}end{smallmatrix}}} 的指定值趋于0,而 z ( x , y ) {displaystyle {begin{smallmatrix}z(x,y)end{smallmatrix}}} 的值在无穷大的范围内震荡,所以这个解不适定。一些有效的解析法解偏微分方程方法:通过分离变量法减少偏微分方程中的变量,将一个偏微分方程分解成若干个常微分方程。沿着一阶偏微分方程的特征线,偏微分方程简化为一个常微分方程。沿着特征线求出对应常微分方程的解就可以得到偏微分方程的解。利用积分法,将偏微分方程变换为可分离的偏微分方程,方便求解。一般为傅里叶变换分析。通过适当的变量变换,可以简化偏微分方程的求解。一个典型的例子为Black–Scholes方程:可以简化为热力方程:通过如下变换:非齐次偏微分方程可通过寻找基本算子,然后通过带有初始条件的卷积来解答。 该法常用于信号处理中通过冲激响应来求解滤波器。因为一个线性齐次偏微分方程解的重叠也可看做一个解,所以可以通过交叉重叠这些解得到偏微分方程的一个解。在众多求解偏微分方程的数值方法中,三种应用最广的方法为有限元法(Finite Element Method, FEM)、有限体积法(Finite Volume Method, FVM)和有限差分法(Finite Difference Method, FDM)。其中,有限元法占主要地位,尤其是它的高效高阶版本—hp-FEM(英语:hp-FEM)。其它版本的有限元法还有:广义有限元法(Generalized Finite Element Method, FFEM)、扩展有限元法(eXtended Finite Element Method, XFEM)、无网格有限元法(Meshfree Finite Element Method)、离散迦辽金有限元法(Discontinuous Galerkin Finite Element Method, DGFEM)等。

相关

  • 同位素列表同位素列表列出了所有已知的化学元素的同位素。此表由左到右按照原子序数的增长而排列,由下到上依照中子数目由少到多排列。表格中的颜色表示各个同位素的半衰期(参见图例),表格
  • Spironolactone螺内酯(英语:spironolactone),商品名有安体舒通、Aldactone等,是一种常用于治疗心衰、肝硬化、胃病等引发的积液的利尿药。此药也用于治疗高血压、补充后仍无改善的低血钾,以及女
  • 卢旺达– 非洲(浅蓝及深灰)– 非盟(浅蓝)卢旺达共和国(卢旺达语:Repubulika y'u Rwanda,法语:République du Rwanda, 英语:Republic of Rwanda, 斯瓦希里语:Jamhuri ya Rwanda),通称卢旺达,是
  • 爱奥尼亚伊奥尼亚(拉丁语:Ionia;古希腊语:Ἰωνία;土耳其语:İyonya;这三种语言的发音均为“伊奥尼亚”而非“爱奥尼亚”)是古希腊时代对今天土耳其安纳托利亚西南海岸地区的称呼。伊奥尼
  • 肺腺癌肺腺癌(英语:lung adenocarcinoma)是肺癌的一种,属于非小细胞肺癌(英语:Non-small-cell lung carcinoma)。不同于鳞状细胞肺癌(英语:Squamous-cell carcinoma of the lung),肺腺癌较容
  • 嗜睡嗜睡症(hypersomnia)是一种会睡眠过度的疾病,主要有两种类型:原发性嗜睡症和反复性嗜睡症。两者的症状相同,但发生频率不同。患有嗜睡症的人会反复发生过度日间嗜睡(英语:Excessive
  • 哈夫病哈夫病(Haff disease),亦称Haff病, 是一种可能会引起横纹肌溶解症(引起骨骼肌肿大并破损,并会引起急性肾衰竭)的疾病。一般发病于24小时内进食过鱼的人群中。该病于1924年在波罗
  • 逻辑哲学论《逻辑哲学论》(又译《名理论》,英语、拉丁语:Tractatus Logico-philosophicus,德语:Logisch-Philosophische Abhandlung),是奥地利哲学家维特根斯坦在其一生中出版的唯一的书籍篇
  • 化学尾迹化学尾迹阴谋论(英语:Chemtrail Conspiracy Theory)是长效的凝结尾迹的虚假断言。支持者称这种尾气由高空飞行的航班遗留在天空中,含有生化武器成分,出于不可告人的故意喷洒。理
  • 统计调查社会统计调查有时也被称作“社会调查”或“调查研究”,但它与中文里的“社会调查”是有区别的,社会调查泛指针对特定的议题收集相关的社会资料与数据的过程,而统计调查则专指对