平行轴定理

平行轴定理（英语：parallel axis theorem）能够很简易地，从刚体对于一支通过质心的直轴（质心轴）的转动惯量，计算出刚体对平行于质心轴的另外一支直轴的转动惯量。

让 ${\displaystyle I_C}$ 代表刚体对于质心轴的转动惯量、${\displaystyle M}$ 代表刚体的质量、${\displaystyle d}$ 代表另外一支直轴 z'-轴与质心轴的垂直距离。那么，对于 z'-轴的转动惯量是

平行轴定理、垂直轴定理、伸展定则，这些工具都可以用来求得许多不同形状的物体的转动惯量。

平行轴定理也可以应用于面积二次矩（面积惯性矩）：

这里，${\displaystyle I_z}$ 是对于 z-轴的面积惯性矩、${\displaystyle I_x}$ 是对于平面质心轴的面积惯性矩、${\displaystyle A}$ 是面积、${\displaystyle d}$ 是 z-轴与质心轴的垂直距离。

因雅各·史丹纳 (Jakob Steiner) 而命名，史丹纳定理所指的几个理论，其中一个理论就是平行轴定理。

平行轴定理能够很简易的，从对于一个以质心为原点的坐标系统的惯性张量，转换至另外一个平行的坐标系统。

对于三维空间中任意一参考点 Q 与以此参考点为原点的直角坐标系 Qxyz ，一个刚体的惯性张量 ${\displaystyle \mathbf{I}}$ 是

这里，对角元素 ${\displaystyle I_{xx}}$ 、${\displaystyle I_{yy}}$ 、${\displaystyle I_{zz}}$ 分别为对于 x-轴、y-轴、z-轴的惯性矩。设定 ${\displaystyle (x,y,z)}$ 为微小质量 ${\displaystyle dm}$ 对于点 Q 的相对位置。则这些惯性矩，可以精简地用方程定义为

而非对角元素，称为惯性积, 可以定义为

假若已知刚体对于质心 G 的惯性张量 ${\displaystyle {\mathbf{I}}_G}$ ，质心 G 的位置是 ${\displaystyle (\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x},\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{y},\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{z})}$ ，则刚体对于原点 O 的惯性张量 ${\displaystyle \mathbf{I}}$ ，依照平行轴定理，可以表述为

证明：

a) 参考右图 ，让 ${\displaystyle (x{}^{\prime },y{}^{\prime },z{}^{\prime })}$ 、${\displaystyle (x,y,z)}$ 分别为微小质量 ${\displaystyle dm}$ 对质心 G 与原点 O 的相对位置：

依照惯性张量的惯性矩定义方程，

所以，

相似地，可以求得 ${\displaystyle I_{yy}}$ 、${\displaystyle I_{zz}}$ 的方程。

b) 依照惯性张量的惯性积定义方程 ，

因为 ${\displaystyle x=x{}^{\prime }+\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{x}}$ ，${\displaystyle y=y{}^{\prime }+\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{y}}$ ，所以

相似地，可以求得对于点 O 的其他惯性积方程。

思考一个实心长方体对于质心 G 的惯性张量，

如图右，质心 G 的位置是 ${\displaystyle \left(\frac{d}{2},\frac{w}{2},\frac{h}{2}\right)}$ 。依照平行轴定理，实心长方体对于点 O 的惯性矩与惯性积分别为

因此，实心长方体对于点 O 的惯性张量是