实射影空间

数学中，实射影空间（real projective space），记作 RP，是 R+1 中的直线组成的射影空间。它是一个 维紧光滑流形，也是格拉斯曼流形的一个特例。

与所有射影空间一样，RP 是通过取 R+1 − {0} 在等价关系 ∼ λ 对所有实数 λ ≠ 0 下的商空间。对所有 属于 R+1 − {0}，总可找到一个 λ 使得t λ 的范数为 1。恰好有相差一个符号的两个这样的 λ。

故 RP 也可通过将 R+1 中单位 -维球面 的对径点等同起来得到。

进一步我们限制在 的上半球面，仅将边界赤道上的对径点等同。这说明 RP 闭 -维圆盘 将边界 ∂ = −1 上的对径点等同。

${\displaystyle {\mathbf{R}\mathbf{P}}^1}$，从而有一个群结构；覆叠映射 ${\displaystyle S^3\to <!--\; \to \; -->{\mathbf{R}\mathbf{P}}^3}$(3)是 (3) 的万有覆叠李群。

-维球面的对径映射（将 送到 -）生成 上一个 Z₂ 群作用。上已提到，这个作用的轨道空间是 RP。这个作用恰是一个覆叠空间作用，使 成为 RP 的二重复叠。因为对 ≥ 2， 是单连通的，它们在此情形也是万有覆叠。从而当 > 1 时，RP 的基本群是 Z₂（当 =1 基本群是 Z 因为同胚于 ）。基本的一个生成元是连接 中一组对径点的曲线投影到 RP 上的闭曲线。

-维射影空间的一些性质：

${\displaystyle {\mathbf{R}\mathbf{P}}^n}$ 的齐次坐标 (₁...₊₁) 中，考虑子集 使得 ≠ 0。每个 同胚于 R 中的开单位球体，且坐标转移函数是光滑的。这给出了 RP 一个光滑结构。

实射影空间 RP 有一个 CW结构，在每一维有 1 个胞腔。

在 上的齐次坐标 (₁ ... ₊₁) 中，坐标邻域 = {(₁ ... ₊₁)|₁ ≠ 0} 可与 -维圆盘 的内部等价。当 = 0，我们有 RP - 1。从而 RP 的 - 1 骨架是 RP - 1，而且黏贴映射 : -1 → RP - 1 是一个二对一映射。我们可令

归纳证明 RP 是一个 CW 复形，在每一维有 1 个胞腔。

这些胞腔与旗流形（flag manifold）上一样是舒伯特胞腔（Schubert cell）。这便是，取一个完全旗（称为标准旗）0 = ₀ < ₁ <...< ；则闭 -胞腔是属于 中的直线。而开 -胞腔（-胞腔的内部）是 \ 中的直线（属于 但不属于 _{- 1} 的直线）。

在齐次坐标（关于旗的）中，这些胞腔是

这不是一个正则 CW 结构，因黏贴映射是二对一的。但它的覆盖是球面上一个正则 CW 结构，在每一维有 2 个胞腔；事实上，这是球面上最小的正则 CW 结构。

在光滑结构的帮助下，莫尔斯函数的存在性可证明 RP 是一个 CW 复形。在齐次坐标中，这样一个函数可为：

在每个邻域 ， 有非退化奇点 (0...,1,...0)，这里 1 出现于第 个位置，具有莫尔斯指标 。这说明了 RP 是一个在每一维有一个胞腔的 CW 复形。

与上面 CW 结构相伴的胞腔链复形在每个维数 0,..., 恰有一个胞腔。对每个维数 ，边界映射  : → RP-1/RP-2，坍塌到 - 1 上的赤道然后将对径点等同。在奇数（偶数）维，度数为 0（2）：

从而整同调是

${\displaystyle {\mathbf{R}\mathbf{P}}^n}$ 为奇数，上面的同调计算已经做了说明。更具体地，${\displaystyle {\mathbf{R}}^p}$ 是偶数。从而定向特征标（orientation character）是：${\displaystyle {\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}}_1({\mathbf{R}\mathbf{P}}^n)}$ 为偶数，即 为奇数。

在实射影空间上有一个自然的线丛，称为重言丛。更确切地，这称为重言子丛，也存在一个对偶 -维丛称为重言商丛。

实射影空间有一个常正数量曲率度量，由二重复叠的标准圆球面（对极映射是一个等距）得来。

对标准圆度量，其截面曲率恒等于 1。

在标准圆度量中，射影空间的测度恰好是球面测度的一半。

无穷实射影空间构造为有限射影空间的正向极限或并集：

拓扑上说，这是艾伦伯格-麦克兰恩空间（Eilenberg-MacLane space） ${\displaystyle K(\mathbb{Z}/2,1)}$（它被可缩的无穷球面 ${\displaystyle S^{\mathrm{\infty <!--\; \infty \; -->}}}$ 二重复叠）并且是 BO(1)，线丛的分类空间（更一般地，无穷格拉斯曼流形是向量丛的分类空间）。

系数取 Z/2 的上同调环是

这里 ${\displaystyle w_1}$ 是第一斯蒂弗尔-惠特尼类：它是 ${\displaystyle w_1}$（其度数为 1）上的自由 ${\displaystyle \mathbb{Z}/2}$-代数。