迈尔斯定理

✍ dations ◷ 2025-06-28 21:08:22 #黎曼几何,数学定理,几何不等式

迈尔斯定理,或称博内-迈尔斯定理,是黎曼几何的经典结果。这定理说如完备黎曼流形 M {\displaystyle M} 的里奇曲率有下界 ( n 1 ) k > 0 {\displaystyle (n-1)k>0} ,那么其直径不超过 π k {\displaystyle {\frac {\pi }{\sqrt {k}}}}

而且,如直径等于 π k {\displaystyle {\frac {\pi }{\sqrt {k}}}} ,则流形和有常截面曲率 k {\displaystyle k} 的球面等距。

这结果对流形的万有覆叠同样成立,特别地, M {\displaystyle M} 和其覆盖都紧致,所以覆叠是有限叶的, M {\displaystyle M} 有有限基本群。

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