迈尔斯定理

✍ dations ◷ 2025-08-17 13:01:45 #黎曼几何,数学定理,几何不等式

迈尔斯定理，或称博内-迈尔斯定理，是黎曼几何的经典结果。这定理说如完备黎曼流形 $M {\displaystyle M}$ $M$ 的里奇曲率有下界 $(n-1)k>0$ $(n-1)k>0$ ，那么其直径不超过 ${\frac {\pi }{\sqrt {k}}}$ $\frac \pi {\sqrt k}$ 。

而且，如直径等于 ${\frac {\pi }{\sqrt {k}}}$ $\frac \pi {\sqrt k}$ ，则流形和有常截面曲率 $k {\displaystyle k}$ $k$ 的球面等距。

这结果对流形的万有覆叠同样成立，特别地， $M {\displaystyle M}$ $M$ 和其覆盖都紧致，所以覆叠是有限叶的， $M {\displaystyle M}$ $M$ 有有限基本群。

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