欧拉运动定律(Euler's laws of motion)是牛顿运动定律的延伸,可以应用于多粒子系统运动或刚体运动,描述多粒子系统运动或刚体的平移运动、旋转运动分别与其感受的力、力矩之间的关系。在艾萨克·牛顿发表牛顿运动定律之后超过半个世纪,于1750年,莱昂哈德·欧拉才成功地表述了这定律。
刚体也是一种多粒子系统,但理想刚体是一种有限尺寸,可以忽略形变的固体。不论是否感受到作用力,在刚体内部,点与点之间的距离都不会改变。
欧拉运动定律也可以加以延伸,应用于可变形体内任意部分的平移运动与旋转运动。
欧拉第一定律表明,从某惯性参考系观测,施加于刚体的合外力,等于刚体质量与质心加速度的乘积。欧拉第一定律以方程表达为
其中, 是刚体感受到的合外力, 、 分别是刚体的质量、质心加速度。
刚体的平移运动等同于位于其质心、具有其质量的粒子,感受到同样的合外力,而呈现的运动。
思考由 个粒子组成的多粒子系统,其质心位置 为
其中, 、 分别为第 个粒子的质量、位置, 是系统的质量。
质心速度 为
其中, 是第 个粒子的速度。
质心加速度 为
其中, 是第 个粒子的加速度。
第 个粒子感受到的力 为
其中, 是这粒子感受到的外力, 是第 个粒子施加于第 个粒子的内力。
系统感受到的合力 是所有粒子感受到的力的矢量和:
根据牛顿第三定律,内力与其反作用力的关系为
所以,所有粒子彼此施加于对方的内力的矢量和为零,合力等于所有外力的矢量和 (合外力 ):
根据牛顿第二定律,第 个粒子感受到的力 与这粒子的加速度之间的关系为
总和所有粒子所感受到的力,
所以,合外力 与质心加速度的关系为
多粒子系统的动量 是组成这系统的所有粒子的动量的矢量和:
其中, 是第 个粒子的动量。
欧拉第一定律又可以表达为
假设合外力为零,则系统的动量守恒。
欧拉第二定律表明,设定某惯性参考系的固定点O(例如,原点)为参考点,施加于刚体的净外力矩,等于角动量的时间变化率。欧拉第二定律以方程表达为
其中, 是对于点O合外力矩, 是对于点O的角动量。
思考由 个粒子组成的多粒子系统。对于点O,第 个粒子的角动量 为
对于时间的导数为
根据牛顿第二定律,施加于第 个粒子的力 是这粒子的质量与加速度的乘积。所以, 对于时间的导数为
第 个粒子所感受到的合力矩 为 。所以, 与 的关系为
总和所有粒子所感受到的合力矩,系统所感受到的合力矩 与其角动量 的关系为
第 个粒子所感受到的合力 为
第 个粒子所感受到的合力矩 为
物体感受到的合力矩 为:
应用牛顿第三定律,
其中, 是从粒子 到粒子 的位移矢量。
假设这系统的粒子遵守强版牛顿第三定律,即粒子运动为经典运动,速度超小于光速,则 与 同向,叉积为零。那么,物体感受到的合力矩是所有外力矩的矢量和 :
这样,可以得到欧拉第二定律方程
假设施加于系统的合外力矩为零,则系统的角动量的时间变化率为零,系统的角动量守恒。
所有粒子所感受到的合力矩的矢量和为
其中, 、 分别是第 个粒子相对于质心的相对位移与相对加速度。
注意到所有粒子的相对位移与相对加速度,其矢量和分别为零,所以,
现在,假设将质心设定为参考点,则 ,方程变为
以质心为参考点,角动量 为
所以,不论质心参考系是否为惯性参考系(即不论质心是否呈加速度运动),以质心为参考点,合外力矩等于角动量的时间变化率:
在可变形体内部任意位置的内力密度不一定一样,也就是说,其内部存在有应力分布。这内部的内力的变化是由牛顿第二定律主控。通常,牛顿第二定律是应用于计算质点或粒子的动力运动,但在连续介质力学里,被加以延伸后,可以应用于计算具有连续分布质量的物体的运动行为。假设将物体模型化为由一群离散粒子组构而成,每一个粒子的运动都遵守牛顿第二定律,则可以推导出欧拉运动定律。不论如何,欧拉运动定律也可以直接视为专门描述大块物体运动的公理,与物体结构无关。
在塑性力学(plasticity theory)里,施加于一个连续物体B的力可以分类为两种:“长程力”与“短程力”。长程力作用于整个物体的每一部分,称为彻体力(body force),而短程力只能作用于物体表面,称为接触力(contact force)。这样,施加于连续物体的合力 分为净彻体力 、净接触力 :
其中, 是彻体力场(量纲为力每单位质量), 是微小质量元素, 是质量密度, 是微小体元素, 是积分体区域, 是表面曳力(surface traction)密度, 是微小面元素, 是积分曲面。
由于彻体力与接触力施加于物体,造成了以某设定点为参考点的对应力矩。这样,对于原点的合力矩 分为净彻体力矩 、净接触力矩 :
其中,
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