欧拉运动定律

欧拉运动定律（Euler's laws of motion）是牛顿运动定律的延伸，可以应用于多粒子系统运动或刚体运动，描述多粒子系统运动或刚体的平移运动、旋转运动分别与其感受的力、力矩之间的关系。在艾萨克·牛顿发表牛顿运动定律之后超过半个世纪，于1750年，莱昂哈德·欧拉才成功地表述了这定律。

刚体也是一种多粒子系统，但理想刚体是一种有限尺寸，可以忽略形变的固体。不论是否感受到作用力，在刚体内部，点与点之间的距离都不会改变。

欧拉运动定律也可以加以延伸，应用于可变形体内任意部分的平移运动与旋转运动。

欧拉第一定律表明，从某惯性参考系观测，施加于刚体的合外力，等于刚体质量与质心加速度的乘积。欧拉第一定律以方程表达为

其中，${\displaystyle {\mathbf{F}}^{(ext)}}$ 是刚体感受到的合外力，${\displaystyle m}$ 、${\displaystyle {\mathbf{a}}_{cm}}$ 分别是刚体的质量、质心加速度。

刚体的平移运动等同于位于其质心、具有其质量的粒子，感受到同样的合外力，而呈现的运动。

思考由 ${\displaystyle n}$ 个粒子组成的多粒子系统，其质心位置 ${\displaystyle {\mathbf{r}}_{cm}}$ 为

其中，${\displaystyle m_i}$ 、${\displaystyle {\mathbf{r}}_i}$ 分别为第 ${\displaystyle i}$ 个粒子的质量、位置，${\displaystyle m=\underset{i=1}{\overset{n}{\sum <!--\; \sum \; -->}}{m}_i}$ 是系统的质量。

质心速度 ${\displaystyle {\mathbf{v}}_{cm}}$ 为

其中，${\displaystyle {\mathbf{v}}_i=\frac{\mathrm{d}{\mathbf{r}}_i}{\mathrm{d}t}}$ 是第 ${\displaystyle i}$ 个粒子的速度。

质心加速度 ${\displaystyle {\mathbf{a}}_{cm}}$ 为

其中，${\displaystyle {\mathbf{a}}_i=\frac{{\mathrm{d}}^2{\mathbf{r}}_i}{\mathrm{d}{t}^2}}$ 是第 ${\displaystyle i}$ 个粒子的加速度。

第 ${\displaystyle i}$ 个粒子感受到的力 ${\displaystyle {\mathbf{F}}_i}$ 为

其中，${\displaystyle {\mathbf{F}}_i^{(ext)}}$ 是这粒子感受到的外力，${\displaystyle {\mathbf{F}}_{ji}}$ 是第 ${\displaystyle j}$ 个粒子施加于第 ${\displaystyle i}$ 个粒子的内力。

系统感受到的合力 ${\displaystyle \mathbf{F}}$ 是所有粒子感受到的力的矢量和：

根据牛顿第三定律，内力与其反作用力的关系为

所以，所有粒子彼此施加于对方的内力的矢量和为零，合力等于所有外力的矢量和 （合外力 ${\displaystyle {\mathbf{F}}^{(ext)}}$ ）：

根据牛顿第二定律，第 ${\displaystyle i}$ 个粒子感受到的力 ${\displaystyle {\mathbf{F}}_i}$ 与这粒子的加速度之间的关系为

总和所有粒子所感受到的力，

所以，合外力 ${\displaystyle {\mathbf{F}}^{(ext)}}$ 与质心加速度的关系为

多粒子系统的动量 ${\displaystyle \mathbf{p}}$ 是组成这系统的所有粒子的动量的矢量和：

其中，${\displaystyle {\mathbf{p}}_i}$ 是第 ${\displaystyle i}$ 个粒子的动量。

欧拉第一定律又可以表达为

假设合外力为零，则系统的动量守恒。

欧拉第二定律表明，设定某惯性参考系的固定点O（例如，原点）为参考点，施加于刚体的净外力矩，等于角动量的时间变化率。欧拉第二定律以方程表达为

其中，${\displaystyle {\mathit{\tau <!--\; \tau \; -->}}_O^{(ext)}}$ 是对于点O合外力矩，${\displaystyle {\mathbf{L}}_O}$ 是对于点O的角动量。

思考由 ${\displaystyle n}$ 个粒子组成的多粒子系统。对于点O，第 ${\displaystyle i}$ 个粒子的角动量 ${\displaystyle {\mathbf{L}}_i}$ 为

${\displaystyle {\mathbf{L}}_i}$ 对于时间的导数为

根据牛顿第二定律，施加于第 ${\displaystyle i}$ 个粒子的力 ${\displaystyle {\mathbf{F}}_i}$ 是这粒子的质量与加速度的乘积。所以，${\displaystyle {\mathbf{L}}_i}$ 对于时间的导数为

第 ${\displaystyle i}$ 个粒子所感受到的合力矩 ${\displaystyle {\mathit{\tau <!--\; \tau \; -->}}_i}$ 为 ${\displaystyle {\mathit{\tau <!--\; \tau \; -->}}_i={\mathbf{r}}_i\times <!--\; \times \; -->{\mathbf{F}}_i}$ 。所以，${\displaystyle {\mathit{\tau <!--\; \tau \; -->}}_i}$ 与 ${\displaystyle {\mathbf{L}}_i}$ 的关系为

总和所有粒子所感受到的合力矩，系统所感受到的合力矩 ${\displaystyle {\mathit{\tau <!--\; \tau \; -->}}_O}$ 与其角动量 ${\displaystyle {\mathbf{L}}_O}$ 的关系为

第 ${\displaystyle i}$ 个粒子所感受到的合力 ${\displaystyle {\mathbf{F}}_i}$ 为

第 ${\displaystyle i}$ 个粒子所感受到的合力矩 ${\displaystyle {\mathit{\tau <!--\; \tau \; -->}}_i}$ 为

物体感受到的合力矩 ${\displaystyle {\mathit{\tau <!--\; \tau \; -->}}_O}$ 为：

应用牛顿第三定律，

其中，${\displaystyle {\mathbf{r}}_{ij}={\mathbf{r}}_i-<!--\; -\; -->{\mathbf{r}}_j}$ 是从粒子 ${\displaystyle {\mathbf{r}}_j}$ 到粒子 ${\displaystyle {\mathbf{r}}_i}$ 的位移矢量。

假设这系统的粒子遵守强版牛顿第三定律，即粒子运动为经典运动，速度超小于光速，则${\displaystyle {\mathbf{r}}_{ij}}$ 与 ${\displaystyle {\mathbf{F}}_{ji}}$ 同向，叉积为零。那么，物体感受到的合力矩是所有外力矩的矢量和 ${\displaystyle {\mathit{\tau <!--\; \tau \; -->}}_O^{(ext)}}$ ：

这样，可以得到欧拉第二定律方程

假设施加于系统的合外力矩为零，则系统的角动量的时间变化率为零，系统的角动量守恒。

所有粒子所感受到的合力矩的矢量和为

其中，${\displaystyle {\mathbf{r}}_i^{\prime }={\mathbf{r}}_i-<!--\; -\; -->{\mathbf{r}}_{cm}}$ 、${\displaystyle {\mathbf{a}}_i^{\prime }={\mathbf{a}}_i-<!--\; -\; -->{\mathbf{a}}_{cm}}$ 分别是第 ${\displaystyle i}$ 个粒子相对于质心的相对位移与相对加速度。

注意到所有粒子的相对位移与相对加速度，其矢量和分别为零，所以，

现在，假设将质心设定为参考点，则 ${\displaystyle {\mathbf{r}}_{cm}=0}$ ，方程变为

以质心为参考点，角动量 ${\displaystyle {\mathbf{L}}_{cm}}$ 为

所以，不论质心参考系是否为惯性参考系（即不论质心是否呈加速度运动），以质心为参考点，合外力矩等于角动量的时间变化率：

在可变形体内部任意位置的内力密度不一定一样，也就是说，其内部存在有应力分布。这内部的内力的变化是由牛顿第二定律主控。通常，牛顿第二定律是应用于计算质点或粒子的动力运动，但在连续介质力学里，被加以延伸后，可以应用于计算具有连续分布质量的物体的运动行为。假设将物体模型化为由一群离散粒子组构而成，每一个粒子的运动都遵守牛顿第二定律，则可以推导出欧拉运动定律。不论如何，欧拉运动定律也可以直接视为专门描述大块物体运动的公理，与物体结构无关。

在塑性力学（plasticity theory）里，施加于一个连续物体B的力可以分类为两种：“长程力”与“短程力”。长程力作用于整个物体的每一部分，称为彻体力（body force），而短程力只能作用于物体表面，称为接触力（contact force）。这样，施加于连续物体的合力 ${\displaystyle \mathbf{F}}$ 分为净彻体力 ${\displaystyle {\mathbf{F}}_b}$ 、净接触力 ${\displaystyle {\mathbf{F}}_t}$ ：

其中，${\displaystyle \mathbf{b}}$ 是彻体力场（量纲为力每单位质量），${\displaystyle \mathrm{d}m}$ 是微小质量元素，${\displaystyle \mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}}$ 是质量密度，${\displaystyle \mathrm{d}V}$ 是微小体元素，${\displaystyle \mathbb{V}}$ 是积分体区域，${\displaystyle \mathbf{t}}$ 是表面曳力（surface traction）密度，${\displaystyle \mathrm{d}S}$ 是微小面元素，${\displaystyle \mathbb{S}}$ 是积分曲面。

由于彻体力与接触力施加于物体，造成了以某设定点为参考点的对应力矩。这样，对于原点的合力矩 ${\displaystyle \mathbf{L}}$ 分为净彻体力矩 ${\displaystyle {\mathbf{L}}_b}$ 、净接触力矩 ${\displaystyle {\mathbf{L}}_t}$ ：

其中，${\displaystyle \mathbf{r}}$

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