二次方程

✍ dations ◷ 2025-07-03 12:23:27 #初等代数,方程,多项式

二次方程是一种整式方程,主要特点是未知项的最高次数是2,其中最常见的是一元二次方程。

一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程,它的一般形式为: a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,}

我们通常把 x = b ± b 2 4 a c 2 a {\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}} 称之为 a x 2 + b x + c = 0 {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,} 的求根公式:

或不将 x 2 {\displaystyle x^{2}} 系数化为1:

y = a x 2 + b x + c {\displaystyle y=ax^{2}+bx+c\,} a 0 {\displaystyle a\neq 0\,} ),
x {\displaystyle x\,} 求导,得

d y d x = 0 {\displaystyle {\frac {\mathop {\mbox{d}} y}{\mathop {\mbox{d}} x}}=0} ,得

即为 y {\displaystyle y\,} 的极值点,该式亦为函数图形(即抛物线)的对称轴方程。将 x = b 2 a {\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}} 代入 y {\displaystyle y\,} ,可得

即为 y {\displaystyle y\,} 的极值。

根据函数取极值的充分条件,即:
f ( x ) < 0 {\displaystyle f''(x)<0\,} x {\displaystyle x\,} f ( x ) {\displaystyle f(x)\,} 的极大值点,
f ( x ) > 0 {\displaystyle f''(x)>0\,} x {\displaystyle x\,} f ( x ) {\displaystyle f(x)\,} 的极小值点;
d 2 y d x 2 = 2 a {\displaystyle {\frac {\mathop {\mbox{d}} ^{2}y}{\mathop {\mbox{d}} x^{2}}}=2a} ,可知:
a < 0 {\displaystyle a<0\,} 时(抛物线开口向下), x = b 2 a {\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}} y {\displaystyle y\,} 的极大值点;
a > 0 {\displaystyle a>0\,} 时(抛物线开口向上), x = b 2 a {\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}} y {\displaystyle y\,} 的极小值点。

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