距离

距离是对两个物体或位置间相距多远的数值描述，是个不具方向性的标量，且不为负值。在物理或日常使用中，距离可以是个物理长度，或某个估算值，指人、动物、交通工具或光线之类的媒介由起点至终点所经过的路径长。在数学里，距离是个称之为度量的函数，为物理距离这个概念之推广。度量是个函数，依据一组特定的规则作用，且有具体的方法可用来描述一些空间内的元素互相“接近”或“远离”。除了欧氏空间内常见的距离定义外，在图论与统计学等数学领域里，亦存在其他的“距离”概念。在大多数的情形下，“从 A {displaystyle A} 至 B {displaystyle B} 的距离”与“从 B {displaystyle B} 至 A {displaystyle A} 的距离”的意义是相同的。在解析几何里，xy-平面上两点的距离可使用距离公式求得。 ( x 1 , y 1 ) {displaystyle (x_{1},y_{1})} 与 ( x 2 , y 2 ) {displaystyle (x_{2},y_{2})} 间之距离为：同样地，给定三维空间里的两个点 ( x 1 , y 1 , z 1 ) {displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})} 与 ( x 2 , y 2 , z 2 ) {displaystyle (x_{2},y_{2},z_{2})} ，其间之距离为：这些公式可以很容易地透过建构直角三角形，并利用勾股定理来导出。在平面上，可取得平行于坐标轴的两股长求出斜边长；在三维空间里，可由垂直于平面的一股与将第一个直角三角形的斜边作为另一股来求解。在研究复杂的几何时，此类距离称之为欧几里得距离，因为此类距离用到的勾股定理，于非欧几何内并不成立。此一距离公式亦可延伸用来取得弧长公式。在欧氏空间 R n {displaystyle mathbb {R} ^{n}} 里，两点间的距离通常由欧几里得距离（2-范数距离）所给出。不过，有时也会使用由其他范数导出之距离。对于点 ( x 1 , x 2 , … , x n ) {displaystyle (x_{1},x_{2},ldots ,x_{n})} 与点 ( y 1 , y 2 , … , y n ) {displaystyle (y_{1},y_{2},ldots ,y_{n})} ，p阶明可夫斯基距离（p-范数距离）定义为：p 不一定要是整数，但不可以小于 1，不然三角不等式不会成立。2-范数距离为欧几里得距离，是勾股定理在两维以上空间之推广。2-范数距离为两个点间使用直尺量测时所得之数值，为距离的“直观”概念。1-范数距离亦称为“计程车范数”或曼哈顿距离，因为此一距离为汽车在以方形规划（且假设无单行道）的城市里驾驶之距离。无限范数距离亦称为切比雪夫距离。在二维空间里，为国王在棋盘上的两个方块间移动所需之最少步数。p-范数很小使用 1、2 与无限大以外的值，但可见于超椭圆内。在物理空间里，欧几里得距离是最自然的形式，因为刚体的长度于此一距离下不会因旋转而改变。在空间内，两个点 A = r → ( 0 ) {displaystyle A={vec {r}}(0)} 与 B = r → ( T ) {displaystyle B={vec {r}}(T)} 间的欧几里得距离可写成变分法的形式，其距离为下列积分的最小值：其中， r → ( t ) {displaystyle {vec {r}}(t)} 为两点间的轨迹（路径）。积分的值 D {displaystyle D} 表示该轨迹之长度。两点间的距离为该积分的最小值，且会在 r = r ∗ {displaystyle r=r^{*}} 时求得，其中的 r = r ∗ {displaystyle r=r^{*}} 为最佳轨迹。在熟悉的欧氏空间里，该最佳轨迹为一直线。每个人都知道，两点间的最短距离为直线。直线在形式上可透过解上式之欧拉-拉格朗日方程求得。在非欧流形（弯曲空间）里，该空间的性质可使用度量张量 g a b {displaystyle g_{ab}} 来表示，而被积的函数则需修改为 g a c r ˙ c g a b r ˙ b {displaystyle {sqrt {g^{ac}{dot {r}}_{c}g_{ab}{dot {r}}^{b}}}} 。须注意，上式使用了爱因斯坦求和约定。两个对象间的欧几里得距离亦可推广至两个对象不再是个点，而是更高维之流形（如曲线）的情形，所以除了谈论两点间的距离外，亦可讨论两条线间的距离之类的概念。物体间可以有不同的距离定义。例如，天体间的距离即有表面间距离与中心间距离两种。近地轨道的物体适用前者，并以高度标示该物体与地球表面的距离；其他如地球与月球间之距离，则适用后者。两个非空集合间之距离的常见定义如下：在点、直线与平面之间的距离多采上述的第一种定义。这些对象在笛卡尔坐标系下的距离公式列举如下：若在平面坐标几何上的直线定义为 a x + b y + c = 0 {displaystyle ax+by+c=0} ，点的坐标为 ( x 0 , y 0 ) {displaystyle (x_{0},y_{0})} ，则两者间的距离为：设两直线的方程分别为：则，该两直线间的距离若点坐标为 ( x 0 , y 0 , z 0 ) {displaystyle (x_{0},y_{0},z_{0})} ，平面为 A x + B y + C z + D = 0 {displaystyle Ax+By+Cz+D=0} ，则点到平面的距离为：若直线分别为 a x + b y + c 1 = 0 {displaystyle ax+by+c_{1}=0} ，和 a x + b y + c 2 = 0 {displaystyle ax+by+c_{2}=0} ，则两者间的距离为：若两平行平面分别为 A x + B y + C z + D 1 = 0 {displaystyle Ax+By+Cz+D_{1}=0} 和 A x + B y + C z + D 2 = 0 {displaystyle Ax+By+Cz+D_{2}=0} ，则两者间的距离为：当需要处理的新对象为更广义的对象（不再只是个点）时，不可扩展性、曲率限制与非局部互动等额外概念需要被加入距离的概念之内。两个流形间的距离为一标量，可由最小化广义距离泛函（表示两个流形间的转换）而导出：上面的二重积分是两个聚合物结构间的广义距离泛函。 s {displaystyle s} 是空间参数， t {displaystyle t} 是伪时间（轨迹参数）。亦即， r → ( s , t = t i ) {displaystyle {vec {r}}(s,t=t_{i})} 为时间 t i {displaystyle t_{i}} 时的聚合物结构，且以 s {displaystyle s} 作为其线段之参数。类似地， r → ( s = S , t ) {displaystyle {vec {r}}(s=S,t)} 则为无限小之线段由结构 r → ( s , 0 ) {displaystyle {vec {r}}(s,0)} 转换成结构 r → ( s , T ) {displaystyle {vec {r}}(s,T)} 的轨迹。其中的 λ {displaystyle lambda } 为拉格朗日乘数，用来确保聚合物的长度在转换的过程中维持不变。若两个聚合物不可扩展，则两者间之转换最小距离不会只有直线运动，即使是在欧几里得度量之上。此类广义距离可适用于蛋白质折叠的问题上。此类广义距离可类比弦论里的南部-后藤作用量，但无法完全地对应，因为三维空间里的欧几里得距离不等价于古典相对论弦中最小化的时空距离。在数学里，集合 M {displaystyle M} 上的距离函数为一函数 d : M × M → R {displaystyle d:Mtimes Mrightarrow R} ，其中 R {displaystyle R} 为实数集，且满足下列条件：此一距离函数称之为度量。具有度量之集合，称为度量空间。举例而言，两个实数 x {displaystyle x} 与 y {displaystyle y} 间的距离通常定义为： d ( x , y ) = | x − y | {displaystyle d(x,y)=leftvert x-yrightvert } 。此一定义满足上述三个条件，且会对应至实数线上的标准拓扑。不过，集合上的距离是可选择的，例如下面的定义： d ( x , y ) = 0 {displaystyle d(x,y)=0} ，若 x = y {displaystyle x=y} ，否则为 1。此一定义亦符合度量的三个条件，但会形成一个完全不同的拓扑，称之为“离散拓扑”；在此一定义里，数字间无法随意地接近。在图论里，两个顶点间的距离为这些顶点间最短路径之长度。下面为名称中带有“距离”的名词：