单位根

数学上，${\displaystyle n}$次单位根是${\displaystyle n}$次幂为1的复数。它们位于复平面的单位圆上，构成正多边形的顶点，但最多只可有两个顶点同时标在实数线上。

这方程的复数根 ${\displaystyle z}$为${\displaystyle n}$次单位根。

单位的 ${\displaystyle n}$次根有 ${\displaystyle n}$个：

单位的 ${\displaystyle n}$次根以乘法构成${\displaystyle n}$阶循环群。它的生成元是 ${\displaystyle n}$次本原单位根。${\displaystyle n}$次本原单位根是${\displaystyle e^{\frac{2\mathrm{\pi <!--\; \pi \; -->}ki}{n}}}$，其中${\displaystyle k}$和${\displaystyle n}$互质。${\displaystyle n}$次本原单位根数目为欧拉函数${\displaystyle \mathrm{\phi <!--\; \phi \; -->}(n)}$。

一次单位根有一个: ${\displaystyle 1}$。

二次单位根有两个: ${\displaystyle +1}$和${\displaystyle -<!--\; -\; -->1}$，只有${\displaystyle -<!--\; -\; -->1}$是本原根。

三次单位根是

其中${\displaystyle \mathrm{i}}$是虚数单位；除${\displaystyle 1}$外都是本原根。

四次单位根是

其中${\displaystyle +\mathrm{i}}$和${\displaystyle -<!--\; -\; -->\mathrm{i}}$是本原根。

当${\displaystyle n}$不小于${\displaystyle 2}$时，${\displaystyle n}$次单位根总和为${\displaystyle 0}$。这一结果可以用不同的方法证明。一个基本方法是等比级数：

第二个证法是它们在复平面上构成正多边形的顶点，而从对称性知这多边形的重心在原点。

还有一个证法利用关于方程根与系数的韦达定理，由分圆方程的${\displaystyle x^{n-<!--\; -\; -->1}}$项系数为零得出。