压缩映射

✍ dations ◷ 2025-04-03 10:56:53 #度量几何,不动点

度量空间上的压缩映射，或压缩，是一个从到它本身的函数，存在某个实数 $0<k<1$ 内的和，都有：

满足以上条件的最小的称为的利普希茨常数。压缩映射有时称为利普希茨映射。如果以上的条件对于所有的 $0<k\leq 1$ 。

更一般地，压缩映射的想法可以定义于两个度量空间之间的映射。如果和是两个度量空间，则我们寻找常数，使得 $d'(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y)$ 内的和。

每一个压缩映射都是利普希茨连续的，因此是一致连续的。

一个压缩映射最多有一个不动点。另外，巴拿赫不动点定理说明，非空的完备度量空间上的每一个压缩映射都有唯一的不动点，且对于内的任何，迭代函数序列， ()， ( ())， ( ( ()))，……收敛于不动点。这个概念在迭代函数系统中是非常有用的，其中通常要利用压缩映射。巴拿赫不动点定理也用来证明常微分方程的解的存在，以及证明反函数定理。

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