索末菲展开

✍ dations ◷ 2025-04-03 10:50:00 #索末菲展开

索末菲展开是由阿诺德·索末菲发展的一种近似计算方法,专门用于计算在凝聚态物理和统计物理中出现的一类特定的积分。在物理中,这类积分表示的是采用费米-狄拉克分布计算的统计平均。

在热力学beta(英语:Thermodynamic beta)的值较大的情况下,我们可以把以下形式的积分关于 β {displaystyle beta } 展开为:

上式即为索末菲展开的一般形式。其中 H ( ε ) {displaystyle H(varepsilon )} 表示一个任意函数, H ( μ ) {displaystyle H^{prime }(mu )} 表示 H ( ε ) {displaystyle H(varepsilon )} ε = μ {displaystyle varepsilon =mu } 处的导数; O ( x n ) {displaystyle O(x^{n})} x {displaystyle x} 的n阶最小量(参见大O符号),表示此展开中所有不大于 x n {displaystyle x^{n}} 的项。只有当 H ( ε ) {displaystyle H(varepsilon )} ε {displaystyle varepsilon rightarrow -infty } 时趋向于零,且 ε + {displaystyle varepsilon rightarrow +infty } H ( ε ) {displaystyle H(varepsilon )} 的增长速度不快于任意多项式,我们才能运用这个展开做近似计算。

此类积分常常在计算固体的自由电子模型时出现。在这些计算中,上述积分表示的是 H ( ε ) {displaystyle H(varepsilon )} 的期望值。通过计算这些积分,我们可以进一步确定 β {displaystyle beta } 和化学势 μ {displaystyle mu } 的关系。

考虑在一给定空间中相互独立运动且处于热力学平衡的一群全同粒子。如果这群粒子满足泡利不相容原理,能量为 ε {displaystyle varepsilon } 的单粒子量子态的占据概率(英语:Probability of occupation)遵循费米-狄拉克分布:

假设 D ( ε ) {displaystyle D(varepsilon )} 为单粒子的状态密度,N为导带电子的总数。则

对于任意的状态密度函数 D ( ε ) {displaystyle D(varepsilon )} ,我们可能无法直接计算出此积分。但如果我们应用索末菲展开,我们可以得到以下近似结果:

对于自由电子气体,我们有 D ( ε ) ε 1 / 2 {displaystyle D(varepsilon )propto varepsilon ^{1/2}} 。由此经过一系列计算,我们可以得到:

其中 μ 0 = μ ( T = 0 ) {displaystyle mu _{0}=mu (T=0)}

根据此近似计算所需的假设,索末菲展开常被用于对低温系统的近似计算。

在此章节中,我们需要对我们研究的积分关于 τ 2 {displaystyle tau ^{2}} 作二阶展开,其中 β 1 = τ = k B T {displaystyle beta ^{-1}=tau =k_{B}T} 是温度和玻尔兹曼常数的乘积。

我们先作变量代换 τ x = ε μ {displaystyle tau x=varepsilon -mu }

将积分范围划分成两部分, I = I 1 + I 2 {displaystyle I=I_{1}+I_{2}} ,并对 I 1 {displaystyle I_{1}} 作变量代换 x x {displaystyle xrightarrow -x} :

接下来,通过使用以下等式

I 1 {displaystyle I_{1}} 可被化为下述形式:

再对第一项作变量代换 τ d x = d ε {displaystyle -tau {mathrm {d} }x={mathrm {d} }varepsilon } x {displaystyle x} 变换回原来的变量。结合 I = I 1 + I 2 {displaystyle I=I_{1}+I_{2}} ,我们可以得到:

τ {displaystyle tau } 足够小, H ( ε ) {displaystyle H(varepsilon )} 足够平滑,第二项的分子可以被如下近似到第一阶导数:

代入前式可得:

已知第二项定积分的值为 :

因此,

费米分布的矩的母函数是:

这里, k B T = β 1 {displaystyle {displaystyle k_{rm {B}}T=beta ^{-1}}} ,且我们通过减去一个单位阶跃函数 θ ( ϵ ) {displaystyle {displaystyle theta (-epsilon )}} 去掉了温度为零的情况下发散的函数值。关于 τ {displaystyle tau } ,计算其各次展开后可以得到以下结果:


对于玻色函数的奇距(odd moment),我们有相似的母函数: 0 d ϵ 2 π sinh ( ϵ τ / π ) 1 e β ϵ 1 = 1 4 τ { 1 τ T tan τ T } , 0 < τ T < π {displaystyle int _{0}^{infty }{frac {depsilon }{2pi }}sinh(epsilon tau /pi ){frac {1}{e^{beta epsilon }-1}}={frac {1}{4tau }}left{1-{frac {tau T}{tan tau T}}right},quad 0<tau T<pi }

相关

  • 文本情感分析文本情感分析(也称为意见挖掘)是指用自然语言处理、文本挖掘以及计算机语言学等方法来识别和提取原素材中的主观信息。通常来说,情感分析的目的是为了找出说话者/作者在某些话
  • 东部棉尾兔东部棉尾兔,又称美东棉尾兔、佛罗里达棉尾兔、东林兔(学名:Sylvilagus floridanus),是一种生活在美洲的棉尾兔,属兔科林兔属。是北美洲最常见的兔。东部棉尾兔体型粗壮,后腿强壮,耳
  • 赫山区赫山区为湖南省益阳市市辖区,位于湖南省中部偏北,属南洞庭湖滨湖区。全区总面积1280平方公里,GDP总量(国内生产总值)32.31亿元(2002年),总人口85.94万人(2002年)。赫山区目前仍为农业
  • 冯华君冯华君(1981年10月-2012年12月23日),广东韶关人,FIT中文输入法作者、广州新点科技联合创始人。冯华君2004年毕业于华南理工大学工商管理学院。他曾任职于苹果、百度等公司,从事技
  • 胃蝇胃蝇(学名:)是一种形似蜜蜂的蝇类。成蝇体表密被黄褐色或黄白色长绒毛。幼蝇红色,前尖后钝,分节,每节常有刺1—2行,寄生于马、驴、骡等的食管、胃、肠处。严重侵袭时能使胃部运动及
  • 冯氏铁线蕨冯氏铁线蕨(学名:)为铁线蕨科铁线蕨属下的一个种。
  • 自致地位自致地位(英文:Achieved status),指的是:在一个人的生命历程中通过个人努力而取得的社会地位。一个人的社会地位在社会学中是极为重要的,与个人在社会中的权力、义务、行为、责任
  • 安徽卫视安徽卫视是安徽广播电视台下辖的一个卫星频道。1997年10月6日上星后前身为安徽电视台新闻综合频道,2010年电视台与广播电台合并后改为现名。安徽卫视的标志与安徽电视台各个
  • 妙音通站妙音通站(日语:妙音通駅/みょうおんどおりえき  */?)是位于名古屋市瑞穗区妙音通三丁目,为名古屋市营地铁名城线的车站之一。车站编号为M24。本站为2面2线侧式月台之地下车站。
  • 李继隆李继隆(950年-1005年),字霸图,潞州上党人,北宋名将,昭勋阁二十四功臣。曾于唐河之战和徐河之战率静塞铁骑重创辽军。父亲是著名的北宋开国功臣李处耘。年幼时由伯父李处畴抚养,以父荫补西头供奉官。李处耘因为私自处死战俘,贬为淄州刺史,李继隆也因此被除官。后在春节时与母亲入宫贺宋太祖赵匡胤生辰,复西头供奉官并留京师。但此时朝中有权臣与李处耘有旧日恩怨,所以没被重用,又李继隆因为落魄不治产,以游猎为娱。乾德年间后蜀平,盗贼猖獗,选为果阆州监军兼巡检,这年他刚刚二十,母忧虑他少未更事,想派李处耘亲近之人来辅助