Γ函数

✍ dations ◷ 2025-07-09 16:25:23 #特殊超几何函数,复分析,伽玛及相关函数

在数学中, Γ {\displaystyle \Gamma \,} ,满足 ,有

于是,对任何正整数

其中γ是欧拉-马歇罗尼常量。

注意到在 Γ {\displaystyle \Gamma } 函数的积分定义中若取 z {\displaystyle z\,} 为实部大于零之复数、则积分存在,而且在右半复平面上定义一个全纯函数。利用函数方程

并注意到函数 sin ( π z ) {\displaystyle \sin(\pi z)\,} 在整个复平面上有解析延拓,我们可以在 R e ( z ) < 1 {\displaystyle \mathrm {Re} (z)<1} 时设

从而将 Γ {\displaystyle \Gamma \,} 函数延拓为整个复平面上的亚纯函数,它在 z = 0 , 1 , 2 , 3 {\displaystyle z=0,-1,-2,-3\cdots } 有单极点,留数为

许多编程语言或表格软件有提供Γ函数或对数的Γ函数,例如EXCEL。而对数的Γ函数还要再取一次自然指数才能获得Γ函数值。例如在EXCEL中,可使用GAMMALN函数,再用EXP,即可求得任意实数的伽玛函数的值。

而在没有提供Γ函数的程序环境中,也能够过泰勒级数或斯特灵公式等方式来近似,例如Robert H. Windschitl在2002年提出的方法,其在十进制可获得有效数字八位数的精确度,已足以填满单精度浮点数的二进制有效数字24位:

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