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Γ函数

✍ dations ◷ 2025-06-29 15:14:08 #特殊超几何函数,复分析,伽玛及相关函数

在数学中， $\Gamma \,$ ，满足，有

于是，对任何正整数

其中γ是欧拉-马歇罗尼常量。

注意到在 $\Gamma$ $\Gamma$ 函数的积分定义中若取 $z\,$ $z \,$ 为实部大于零之复数、则积分存在，而且在右半复平面上定义一个全纯函数。利用函数方程

并注意到函数 $\sin(\pi z)\,$ $\sin (\pi z) \,$ 在整个复平面上有解析延拓，我们可以在 $\mathrm {Re} (z)<1$ $\mathrm{Re}(z)<1$ 时设

从而将 $\Gamma \,$ $\Gamma \,$ 函数延拓为整个复平面上的亚纯函数，它在 $z=0,-1,-2,-3\cdots$ $z=0,-1,-2,-3\cdots$ 有单极点，留数为

许多编程语言或表格软件有提供Γ函数或对数的Γ函数，例如EXCEL。而对数的Γ函数还要再取一次自然指数才能获得Γ函数值。例如在EXCEL中，可使用GAMMALN函数，再用EXP，即可求得任意实数的伽玛函数的值。

而在没有提供Γ函数的程序环境中，也能够过泰勒级数或斯特灵公式等方式来近似，例如Robert H. Windschitl在2002年提出的方法，其在十进制可获得有效数字八位数的精确度，已足以填满单精度浮点数的二进制有效数字24位：

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