平移

在仿射几何，平移（translation）是将物件的每点向同一方向移动相同距离。

它是等距同构，是仿射空间中仿射变换的一种。它可以视为将同一个向量加到每点上，或将坐标系统的中心移动所得的结果。即是说，若${\displaystyle \mathbf{v}}$是一个已知的向量，${\displaystyle \mathbf{p}}$是空间中一点，平移${\displaystyle T_{\mathbf{v}}(\mathbf{p})=\mathbf{p}+\mathbf{v}}$。

将同一点平移两次，结果可用一次平移表示，即${\displaystyle T_{\mathbf{v}}(T_{\mathbf{u}}(\mathbf{p}))=T_{\mathbf{v}+\mathbf{u}}(\mathbf{p})}$，因此所有平移的集是一个群，称为平移群。这个群和空间同构，又是欧几里德群E(n)的正规子群。

T对E的商群与正交群O(n)同构：E(n) / T = O(n)。

例如在三维空间，使用齐次坐标，${\displaystyle T_{\mathbf{v}}}$可用矩阵表示为

平移的结果${\displaystyle T_{\mathbf{v}}(\mathbf{p})}$就是

平移的逆矩阵：${\displaystyle T_{\mathbf{v}}^{-<!--\; -\; -->1}=T_{-<!--\; -\; -->\mathbf{v}}}$。两个平移矩阵的积就是两次平移的结果：${\displaystyle T_{\mathbf{u}}{T}_{\mathbf{v}}=T_{\mathbf{u}+\mathbf{v}}}$。因为向量加法符合交换律，所以平移群不像一般矩阵乘法，平移矩阵乘法是可交换的。