高斯光束

在光学中，高斯光束（英语：Gaussian beam）是横向电场以及辐照度分布近似满足高斯函数的电磁波光束。许多激光都近似满足高斯光束的条件，在这种情况中，激光在光谐振腔中以TEM00波模（横向基模）传播。当它在满足近衍射极限的镜片中发生折射时，高斯光束会变换成另一种不同参数的高斯光束，因此，高斯光束是激光光学中一种方便、广泛应用的模型。描述高斯光束的数学函数是亥姆霍兹方程的一个近轴近似解（属于小角近似的一种）。这个解具有高斯函数的形式，代表了光束中电场分量的复振幅。尽管电磁波的传播包括电场和磁场两部分，研究其中任一个场，就足以描述波在传播时的性质。高斯光束中，场的行为可以通过几个参数加以刻画，如光斑大小，曲率半径，古依相移等。亥姆霍兹方程的近轴近似解可能不止一个。笛卡尔坐标系下求解可得一类称为厄米-高斯模的解，在柱坐标中求解则得到一类称为拉盖尔-高斯模的解。对这两类解，最低阶都是高斯光束，高阶解则描述了光学谐振腔中的高阶横向模。高斯光束作为电磁波的横向电磁模，通过求解近轴亥姆霍兹公式，可得电场的振幅这里此外，上式中默认忽略了含时项 e i ω t {textstyle e^{iomega t}} 。对应的辐照度时域平均值为这里 I 0 = I ( 0 , 0 ) {displaystyle I_{0}=I(0,0)} 为光波束腰中心处的辐照度。常数 η {displaystyle eta ,} 为光波所在传播介质中的波阻抗（英语：Wave impedance）。在真空中， η = η 0 = μ 0 ε 0 = 1 / ( ε 0 c ) ≈ 376.7   Ω {displaystyle eta =eta _{0}={sqrt {frac {mu _{0}}{varepsilon _{0}}}}=1/(varepsilon _{0}c)approx 376.7 mathrm {Omega } } 。高斯光束的许多性质由一系列波束参数决定，下面将分别予以介绍。对于在自由空间传播的高斯光束，其腰斑（英语：spot size）位置的半径在光轴方向总大于一个最小值 w 0 {displaystyle w_{0}} ，这个最小值被称为束腰（beam waist）。波长为 λ {displaystyle lambda } 的光波的腰斑位置在 z {displaystyle z} 轴上的分布为这里将 z = 0 {displaystyle z=0} 定义为束腰的位置。被称为瑞利距离。与束腰轴向距离等于瑞利距离 z R {displaystyle z_{R}} 处的束宽为这两点之间的距离称作共焦参数或光束的焦深。R ( z ) {displaystyle R(z)} 是光束波前的曲率半径，它是轴向距离的函数当 z ≫ z R {displaystyle zgg z_{mathrm {R} }} ，参数 w ( z ) {displaystyle w(z)} 与 z {displaystyle z} 呈线性关系，趋近于一条直线。这条直线与中央光轴的夹角被称为光束的“偏移”，它等于在远离束腰的位置，光束弯散的总角度为由于这一性质，聚焦于一个小点的高斯激光在远离这个点的传播过程中迅速散开。为了保持激光的准直，激光束必须具有较大的直径。束宽和光束偏移的这一关系是由于衍射的缘故。非高斯光束同样会表现这一效应，但是高斯光束是一种特殊情况，其束宽和偏移的乘积是可能达到的最小值。由于高斯光束模型使用了近轴近似，当波前与光传播方向倾斜程度大于30度之后，这种模型将不再适用。通过上述偏移的表达式，这意味着高斯光束模型仅对束腰大于 2 λ / π {displaystyle 2lambda /pi } 的光束适用。激光束的质量可以用束参数乘积（英语：beam parameter product）（BBP）来衡量。对于高斯光束，BBP 的数值就是光束的偏移量与束腰 w 0 {displaystyle w_{0}} 的乘积。实际光束的 BPP 通过计算光束的最小直径和远场偏移量的乘积来获得。在波长一定的情况下，实际光束的 BPP 数值与理想激光束的 BPP 数值的比值被称为“M2”。高斯光束的 M2 值为1，而所有的是激光束的 M2 值均大于1，并且质量越好的激光的 M2 值越接近1。光束的轴向上的相位延迟，或称 Gouy 相位为当光束通过焦点时，除了正常情况下平面波的相移 e − i k z {displaystyle e^{-ikz}} 外，多出一个额外的 Gouy 相移 π {displaystyle pi } 。可以通过复数形式的光束参数 q ( z ) {displaystyle q(z)} 囊括光斑尺寸与曲率半径的信息，倒数 1 / q ( z ) {displaystyle 1/q(z)} 显式提供了 q ( z ) {displaystyle q(z)} ， w ( z ) {displaystyle w(z)} 与 R ( z ) {displaystyle R(z)} 间的关系：1 q ( z ) = 1 z + i z R = z z 2 + z R 2 − i z R z 2 + z R 2 = 1 R ( z ) − i λ π w 2 ( z ) . {displaystyle {1 over q(z)}={1 over z+iz_{mathrm {R} }}={z over z^{2}+z_{mathrm {R} }^{2}}-i{z_{mathrm {R} } over z^{2}+z_{mathrm {R} }^{2}}={1 over R(z)}-i{lambda over pi w^{2}(z)}.}光束参数的复数形式在高斯光束传播的分析中有着重要地位，特别是当使用光线传递矩阵分析光谐振腔中光束传播。利用复数光束参数 q {displaystyle q} ，具有一个横向维度的高斯光束电磁场与下式成比例在二维的情况中，可以将散光的光束表达为乘积的形式对于圆对称的普遍情况， q x = q y = q {displaystyle {q}_{x}={q}_{y}={q}} 且 x 2 + y 2 = r 2 {displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}} ，可以得出流经距离 z 轴半径为r的圆的功率为这里流经以 r = w ( z ) {displaystyle r=w(z),} 为半径的圆的能量占总能量的比值为类似的，占光波总能量约90%的部分将流经半径为 r = 1.07 ⋅ w ( z ) {displaystyle r=1.07cdot w(z),} 的圆形面积，总能量的95%通过 r = 1.224 ⋅ w ( z ) {displaystyle r=1.224cdot w(z),} 的圆形面积，总能量的99%会通过 r = 1.52 ⋅ w ( z ) {displaystyle r=1.52cdot w(z)} 的圆。在与束腰的轴向距离为 z {displaystyle z} 的位置，利用洛必达法则，可以计算该位置的辐射照度峰值可以看出，辐照度峰值为平均值的两倍，后者等于总能量除以半径为 w ( z ) {displaystyle w(z)} 的圆的面积。