拉格朗日方程

拉格朗日方程（Lagrange equation），因数学物理学家约瑟夫·拉格朗日而命名，是分析力学的重要方程，可以用来描述物体的运动，特别适用于理论物理的研究。拉格朗日方程的功能相等于牛顿力学中的牛顿第二定律。假设一个物理系统符合完整系统的要求，即所有广义坐标都互相独立，则拉格朗日方程成立：其中， L ( q ,   q ˙ ,   t ) {displaystyle {mathcal {L}}(mathbf {q} , {dot {mathbf {q} }}, t),!} 是拉格朗日量， q = ( q 1 , q 2 , … , q N ) {displaystyle mathbf {q} =left(q_{1},q_{2},ldots ,q_{N}right),!} 是广义坐标，是时间 t {displaystyle t,!} 的函数， q ˙ = ( q ˙ 1 , q ˙ 2 , … , q ˙ N ) {displaystyle {dot {mathbf {q} }}=left({dot {q}}_{1},{dot {q}}_{2},ldots ,{dot {q}}_{N}right),!} 是广义速度。在分析力学里，有三种方法可以导引出拉格朗日方程。最原始的方法是使用达朗贝尔原理导引出拉格朗日方程（参阅达朗贝尔原理）；更进阶层面，可以从哈密顿原理推导出拉格朗日方程（参阅哈密顿原理）；最简明地，可以借用数学变分法的欧拉-拉格朗日方程来推导：设定函数 y ( x ) {displaystyle mathbf {y} (x),!} 和 f ( y ,   y ˙ ,   x ) {displaystyle f(mathbf {y} , {dot {mathbf {y} }}, x),!} ：其中， x {displaystyle x,!} 是自变数（independent variable）。若 y ( x ) ∈ ( C 1 [ a ,   b ] ) N {displaystyle mathbf {y} (x)in (C^{1})^{N},!} 使泛函 J ( y ) = ∫ a b f ( y ,   y ˙ ,   x ) d x {displaystyle J(mathbf {y} )=int _{a}^{b}f(mathbf {y} , {dot {mathbf {y} }}, x)dx,!} 取得局部平稳值，则在区间 ( a ,   b ) {displaystyle (a, b),!} 内，欧拉-拉格朗日方程成立：现在，执行下述转换：则可得到拉格朗日方程一个不是完整系统的物理系统是非完整系统，不能用上述形式论来分析。假若，一个非完整系统的约束可以以方程表示为则称此系统为半完整系统。半完整系统可以用拉格朗日形式论来分析。更具体地说，分析半完整系统必须用到拉格朗日乘子 λ i {displaystyle lambda _{i},!} ：其中， λ i = λ i ( q ,   q ˙ ,   t ) {displaystyle lambda _{i}=lambda _{i}(mathbf {q} , {dot {mathbf {q} }}, t),!} 是未知函数。由于这 N {displaystyle N,!} 个广义坐标中，有 n {displaystyle n,!} 个相依的广义坐标，泛函 f ( y ,   y ˙ ,   x ) {displaystyle f(mathbf {y} , {dot {mathbf {y} }}, x),!} 不能直接被转换为拉格朗日量 L {displaystyle {mathcal {L}},!} ；必须加入拉格朗日乘子，将泛函 f ( y ,   y ˙ ,   x ) {displaystyle f(mathbf {y} , {dot {mathbf {y} }}, x),!} 转换为 L + ∑ i = 1 n   λ i g i {displaystyle {mathcal {L}}+sum _{i=1}^{n} lambda _{i}g_{i},!} 。这样，可以得到拉格朗日广义力方程：其中， F {displaystyle {boldsymbol {mathcal {F}}},!} 是广义力， F = ∂ ∂ q ( ∑ i = 1 n   λ i g i ) − d d t [ ∂ ∂ q ˙ ( ∑ i = 1 n   λ i g i ) ] {displaystyle {boldsymbol {mathcal {F}}}={frac {partial }{partial mathbf {q} }}left(sum _{i=1}^{n} lambda _{i}g_{i}right)-{frac {d}{dt}}left,!} 。这 N {displaystyle N,!} 个广义力运动方程加上 n {displaystyle n,!} 个约束方程，给出 N + n {displaystyle N+n,!} 个方程来解 N {displaystyle N,!} 个未知广义坐标与 n {displaystyle n,!} 个拉格朗日乘子。这个段落会展示拉格朗日方程的两个应用实例。第一个实例展示出，用牛顿方法与拉格朗日方法所得的答案相同。第二个实例展示出拉格朗日方法的威力，因为这问题比较不适合用牛顿方法来分析。思考一个粒子从静止状态自由地下落。由于重力 F = m g {displaystyle F=mg,!} 作用于此粒子，应用牛顿第二定律，可以得到运动方程其中，x-坐标垂直于地面，由初始点（原点）往地面指。这个结果也可以从拉格朗日形式论得到。动能 T {displaystyle T,!} 是位势 V {displaystyle V,!} 是所以，拉格朗日量 L {displaystyle {mathcal {L}},!} 是将 L {displaystyle {mathcal {L}},!} 代入拉格朗日方程，运动方程是与牛顿方法的运动方程相同。思考一个简单摆系统。系统的x-轴平行于地面，y-轴垂直于x-轴，指向地面。摆锤P的质量是 m {displaystyle m,!} ，位置是 ( x ,   y ) {displaystyle (x, y),!} 。摆绳的长度是 l {displaystyle l,!} 。摆的支撑点Q的质量是 M {displaystyle M,!} 。这支撑点Q可以沿着一条平行于x-轴的直线移动。点Q的位置是 ( X ,   0 ) {displaystyle (X, 0),!} 。摆绳与y-轴的夹角是 θ {displaystyle theta ,!} 。那么，动能是位势为所以，拉格朗日量是两个约束方程为将约束方程代入拉格朗日量方程,特别注意，在这里，广义坐标是 X {displaystyle X,!} 与 θ {displaystyle theta ,!} 。应用拉格朗日方程，经过微分运算，对于 X {displaystyle X,!} 坐标，可以得到运动方程为由于拉格朗日量不显含广义坐标 X {displaystyle X,!} ，称 X {displaystyle X,!} 为可略坐标，而其相对应的广义动量 p X {displaystyle p_{X},!} 是常数 K 1 {displaystyle K_{1},!} ：对于 θ {displaystyle theta ,!} 坐标，可以得到所以，运动方程为假如用牛顿第二定律，则必须仔细地辨明所有的相关作用力。这是一项既困难又容易出错的工作。