合流超几何函数

在特殊函数中，合流超几何函数（confluent hypergeometric function）定义为合流超几何方程的解。它是高斯超几何函数的极限情形，相当于超几何方程中的两个正则奇点 1 和 ∞ 合流为一个非正则奇点 ∞，因而得名。

根据所选择的参变量与宗量的不同，合流超几何函数有多种标准形式，常见的有：

根据广义超几何函数的性质，超几何函数 w(z)=₁F₁(a;b;z) 满足的微分方程为：

展开后就得到 Kummer 方程，

它在正则奇点 0 附近的一个正则解为 Kummer 函数：

式中 (a)(n) 是升阶乘的 Pochhammer 记号。

Kummer 函数是高斯超几何函数的极限情形：

高斯超几何方程在正则奇点 0 附近的另一个正则解为：

按照相同的极限过程，可知 Kummer 方程的另一个正则解为（这里的 b 等同于上式的 c）：

但是，传统上并不把这个正则解定义为第二类合流超几何函数。Tricomi 函数定义为它们的线性组合：

它与另一个广义超几何函数有下列关系：

但此时上面的超几何函数对应的级数不收敛，需要通过另外的方式来定义（如积分表达式）。更常见的是下面的表述，它将 ₂F₀ 对应的超几何级数视为渐近级数。

Kummer 函数是整函数，而 Tricomi 函数一般有奇点 0。

大部分系数为自变量 z 的一次函数的二阶线性常微分方程都可以通过变量代换转换成 Kummer 方程。对方程

先将 A+Bz 用一个新的 z 代换，就可以将二阶项前面的系数化为 Kummer 方程的形式：

这里的 C,D,E,F 是作代换后得到的新的值。然后将 z 用 (D2-4F)-1/2z 代换，并将整个式子乘以相同的常数，得到：

它的解为，

Kummer 方程的李代数参数定义为

其中第一个李代数参数是 z=0 处两个正则解的指标之差。而第二个李代数参数对于 z=0 处的两个正则解给出相同的值。这时 z=0 处的两个正则解可以表示为

惠泰克方程的形式为：

它的两个线性无关的解为惠泰克函数，与第一类、第二类合流超几何函数有下列关系：

注意到

故惠泰克方程中的参数实际上与 Kummer 方程对应的李代数参数等价，两者之间只差一个常数倍。

合流超几何函数的很多性质可以通过高斯超几何函数得到，高斯超几何函数的积分表示为：

式中的 Β 是beta函数。

两边取极限后就得到（第一类）合流超几何函数的积分表示：

第二类合流超几何函数的积分表示为：

高斯超几何函数的 Pfaff 变换公式为：

两边取极限得到（第一类）合流超几何函数的 Kummer 变换公式：

第二类合流超几何函数的 Kummer 变换公式为：

很多特殊函数都是合流超几何函数的特殊情形。

第一类、第二类虚宗量贝塞尔函数可以分别表示为：

不完全伽玛函数可以表示为：

误差函数可以表示为：

拉盖尔函数可以表示为：

其中的二项式系数用贝塔函数来定义。

（物理学上的）厄米多项式可以表示为：