曲波变换

✍ dations ◷ 2025-04-04 08:27:40 #曲波变换

曲波变换（英语：Curvelet Transform）是一种可以对多尺度信号进行表示的非自适应方法。作为小波变换的推广，曲波变换目前广泛的应用于诸如图像处理和科学计算等领域。

小波通过使用具有时频局域化性质的基对傅里叶变换进行了推广。对于高维信号，通过局域化朝向（Orientation），小波变换可以具有方向信息。曲波变换和包含方向信息的小波变换的区别在于，对于角度的局域化性质会随着尺度变化。

曲波变换适用于表示图像等除奇异点外光滑的信号，这些信号由具有有界曲率的曲线构成，卡通、几何和文字等图片都具有这样的性质，这些图片的边缘会随着图片的放大显得越来越直。然而一般的照片不具有类似的特征，它们往往在几乎所有的尺度上都有细节信息。所以在处理一般的照片时，选择具有方向信息的小波变换会在每个尺度上都具有相同的纵横比。

当图像类型适合时，曲波变换可以提供比其他小波变换更稀疏的表示。通过假设仅使用 ${displaystyle n}$ $n$ 个小波作为几何测试图像的最佳逼近，并将近似误差作为 ${displaystyle n}$ $n$ 的函数来量化表示的稀疏性。对于傅里叶变换，均方误差的衰减速度约为 ${displaystyle O(1/{sqrt {n}})}$ ${displaystyle O(1/{sqrt {n}})}$ 。对于包括方向性的和非方向性的一系列小波变换，均方误差的衰减速度约为 ${displaystyle O(1/n)}$ ${displaystyle O(1/n)}$ 。而采用曲波变换则可以使均方误差的衰减速度下降到约为 ${displaystyle O({(log n)}^{3}/{n^{2}})}$ ${displaystyle O({(log n)}^{3}/{n^{2}})}$ 。

Candès等人提出了两种离散曲波变换的快速算法，分别是基于非均匀采样傅里叶变换的Curvelet变换（Based on unequally-spaced fast Fourier transforms (USFFT)）和基于卷绕的Curvelet变换（Based on the wrapping of specially selected Fourier samples）；对于大小为 ${displaystyle ntimes n}$ $ntimes n$ 的图片，二者的计算复杂度均为 ${displaystyle O(n^{2}log n)}$ ${displaystyle O(n^{2}log n)}$ ，约是快速傅里叶变换的6-10倍。

为了构建曲波的基函数 ${displaystyle phi }$ $phi$ ，并在二维频率平面提供一个平铺（tiling），以下两个方面应当得到考虑：

在尺度 ${displaystyle 2^{-j}}$ ${displaystyle 2^{-j}}$ 下，楔形元素的数量为 ${displaystyle N_{j}=4cdot 2^{lceil {frac {j}{2}}rceil }}$ ${displaystyle N_{j}=4cdot 2^{lceil {frac {j}{2}}rceil }}$ ，也就是说，每经过两个圆环会使楔形元素数量加倍。

令频域的坐标 ${displaystyle {boldsymbol {xi }}=(xi _{1},xi _{2})^{T}}$ ${displaystyle {boldsymbol {xi }}=(xi _{1},xi _{2})^{T}}$ ，所以频域的极坐标为 ${displaystyle r={sqrt {xi _{1}^{2}+xi _{2}^{2}}}}$ ${displaystyle r={sqrt {xi _{1}^{2}+xi _{2}^{2}}}}$ ， ${displaystyle omega =arctan {frac {xi _{1}}{xi _{2}}}}$ ${displaystyle omega =arctan {frac {xi _{1}}{xi _{2}}}}$ 。

在极坐标下，我们假设膨胀的基本曲波为：

${displaystyle {hat {phi }}_{j,0,0}:=2^{frac {-3j}{4}}W(2^{-j}r){tilde {V}}_{N_{j}}(omega ),rgeq 0,omega in }$ ${displaystyle left}$ 内支撑，使得：

${displaystyle sum _{l=0}^{N-1}{tilde {V}}_{N}^{2}(omega -{frac {2pi l}{N}})=1,omega in left。 </div> <div class=$

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