曲波变换

✍ dations ◷ 2025-11-25 21:44:18 #曲波变换

曲波变换（英语：Curvelet Transform）是一种可以对多尺度信号进行表示的非自适应方法。作为小波变换的推广，曲波变换目前广泛的应用于诸如图像处理和科学计算等领域。

小波通过使用具有时频局域化性质的基对傅里叶变换进行了推广。对于高维信号，通过局域化朝向（Orientation），小波变换可以具有方向信息。曲波变换和包含方向信息的小波变换的区别在于，对于角度的局域化性质会随着尺度变化。

曲波变换适用于表示图像等除奇异点外光滑的信号，这些信号由具有有界曲率的曲线构成，卡通、几何和文字等图片都具有这样的性质，这些图片的边缘会随着图片的放大显得越来越直。然而一般的照片不具有类似的特征，它们往往在几乎所有的尺度上都有细节信息。所以在处理一般的照片时，选择具有方向信息的小波变换会在每个尺度上都具有相同的纵横比。

当图像类型适合时，曲波变换可以提供比其他小波变换更稀疏的表示。通过假设仅使用 ${displaystyle n}$ $n$ 个小波作为几何测试图像的最佳逼近，并将近似误差作为 ${displaystyle n}$ $n$ 的函数来量化表示的稀疏性。对于傅里叶变换，均方误差的衰减速度约为 ${displaystyle O(1/{sqrt {n}})}$ ${displaystyle O(1/{sqrt {n}})}$ 。对于包括方向性的和非方向性的一系列小波变换，均方误差的衰减速度约为 ${displaystyle O(1/n)}$ ${displaystyle O(1/n)}$ 。而采用曲波变换则可以使均方误差的衰减速度下降到约为 ${displaystyle O({(log n)}^{3}/{n^{2}})}$ ${displaystyle O({(log n)}^{3}/{n^{2}})}$ 。

Candès等人提出了两种离散曲波变换的快速算法，分别是基于非均匀采样傅里叶变换的Curvelet变换（Based on unequally-spaced fast Fourier transforms (USFFT)）和基于卷绕的Curvelet变换（Based on the wrapping of specially selected Fourier samples）；对于大小为 ${displaystyle ntimes n}$ $ntimes n$ 的图片，二者的计算复杂度均为 ${displaystyle O(n^{2}log n)}$ ${displaystyle O(n^{2}log n)}$ ，约是快速傅里叶变换的6-10倍。

为了构建曲波的基函数 ${displaystyle phi }$ $phi$ ，并在二维频率平面提供一个平铺（tiling），以下两个方面应当得到考虑：

在尺度 ${displaystyle 2^{-j}}$ ${displaystyle 2^{-j}}$ 下，楔形元素的数量为 ${displaystyle N_{j}=4cdot 2^{lceil {frac {j}{2}}rceil }}$ ${displaystyle N_{j}=4cdot 2^{lceil {frac {j}{2}}rceil }}$ ，也就是说，每经过两个圆环会使楔形元素数量加倍。

令频域的坐标 ${displaystyle {boldsymbol {xi }}=(xi _{1},xi _{2})^{T}}$ ${displaystyle {boldsymbol {xi }}=(xi _{1},xi _{2})^{T}}$ ，所以频域的极坐标为 ${displaystyle r={sqrt {xi _{1}^{2}+xi _{2}^{2}}}}$ ${displaystyle r={sqrt {xi _{1}^{2}+xi _{2}^{2}}}}$ ， ${displaystyle omega =arctan {frac {xi _{1}}{xi _{2}}}}$ ${displaystyle omega =arctan {frac {xi _{1}}{xi _{2}}}}$ 。

在极坐标下，我们假设膨胀的基本曲波为：

${displaystyle {hat {phi }}_{j,0,0}:=2^{frac {-3j}{4}}W(2^{-j}r){tilde {V}}_{N_{j}}(omega ),rgeq 0,omega in }$ ${displaystyle left}$ 内支撑，使得：

${displaystyle sum _{l=0}^{N-1}{tilde {V}}_{N}^{2}(omega -{frac {2pi l}{N}})=1,omega in left。</p> </div> <div class=$

相关

担子果在真菌当中，担子果（英语：basidiocarp、basidiome、basidioma，复数：basidiomata）是担子菌门的子实体，是一种多细胞构造，起源于孢子产生出来的子实层。担子果是伞菌纲的特征；柄锈菌纲与
氯吡格雷氯吡格雷（Clopidogrel，商品名为波立维(中国大陆)、保栓通(台湾)（Plavix）、氯吡多），分子式：C16H16ClNO2S，莫耳质量：321.82g/mol），是抑制血小板聚集的药物。不良反应可有皮疹、腹泻、腹痛
广宁广宁县是中国广东省肇庆市下辖的一个县。面积2380平方千米，人口54万。邮政编码526300。广宁县下辖15个镇：排沙镇、潭布镇、江屯镇、螺岗镇、北市镇、坑口镇、赤坑镇、南街镇、
何育杰何育杰（1882年－1939年1月19日），中国最早期的物理学家，也是教育家。字吟苜，浙江宁波人。1882年，生于慈溪（今宁波市慈城镇）。其父何麟祥，光绪二年（1876年）中举人，先后任江西省新喻知县，贵溪
新墨西哥领地新墨西哥领地（英语：New Mexico Territory）是美国历史上的一个建制合并领土，存在于1850年9月9日至1912年1月6日期间，之后升格为美国第47个州新墨西哥州。新墨西哥领地初期范围除了
重播重播（英语：Re-run）是电视节目于首播后再次播出。重播未必可以增加收入，不过可以分摊固定成本，降低平均成本。重播可以让尚未看过节目和剧集的观众有机会收看，但收视率未必高。除非
实体语法系统实体语法系统是针对生物复杂系统研究而提出的一种形式语法系统，用五元组(VN, VT, F, P, S)表示，其中各项分别为非末端字符集、末端字符集、操作子集、规则集和初始字符。实体
欧家廉欧家廉（1869年－1925年），广东广州府顺德县（今广东省顺德县）人，清朝政治人物、进士出身。光绪十九年，中举；次年登贡士。光绪二十一年，登进士；同年五月，改翰林院庶吉士。光绪二十四年四月，散
何塞·恩里克·巴莱拉何塞·恩里克·巴莱拉·伊格莱西亚斯（西班牙语：José Enrique Varela Iglesias，1891年4月17日－1951年3月24日），是弗朗哥统治时期的陆军部长，曾参加过里夫战争、何塞·桑胡尔霍军事政变、卡洛斯主义的阴谋组织，指挥训练“呼啸兵”。二战后，任西属摩洛哥总督。
弗拉基米尔·米柳京弗拉基米尔·米柳京（俄语：Влади́мир Па́влович Милю́тин，1884年9月5日－1937年10月30日），他是苏共布尔什维克领导人、苏联政治家、经济学家和统计学家，他在俄国十月革命后成立的苏维埃政府（英语：Lenin's First and Second Government）中担任农业人民委员，但不久后便因抗议人民委员会主席列宁推行的一党专政方针而辞职。