曲波变换

✍ dations ◷ 2025-04-03 11:23:05 #曲波变换

曲波变换(英语:Curvelet Transform)是一种可以对多尺度信号进行表示的非自适应方法。作为小波变换的推广,曲波变换目前广泛的应用于诸如图像处理和科学计算等领域。

小波通过使用具有时频局域化性质的基对傅里叶变换进行了推广。对于高维信号,通过局域化朝向(Orientation),小波变换可以具有方向信息。曲波变换和包含方向信息的小波变换的区别在于,对于角度的局域化性质会随着尺度变化。

曲波变换适用于表示图像等除奇异点外光滑的信号,这些信号由具有有界曲率的曲线构成,卡通、几何和文字等图片都具有这样的性质,这些图片的边缘会随着图片的放大显得越来越直。然而一般的照片不具有类似的特征,它们往往在几乎所有的尺度上都有细节信息。所以在处理一般的照片时,选择具有方向信息的小波变换会在每个尺度上都具有相同的纵横比。

当图像类型适合时,曲波变换可以提供比其他小波变换更稀疏的表示。 通过假设仅使用 n {displaystyle n} 个小波作为几何测试图像的最佳逼近,并将近似误差作为 n {displaystyle n} 的函数来量化表示的稀疏性。对于傅里叶变换,均方误差的衰减速度约为 O ( 1 / n ) {displaystyle O(1/{sqrt {n}})} 。对于包括方向性的和非方向性的一系列小波变换,均方误差的衰减速度约为 O ( 1 / n ) {displaystyle O(1/n)} 。而采用曲波变换则可以使均方误差的衰减速度下降到约为 O ( ( log n ) 3 / n 2 ) {displaystyle O({(log n)}^{3}/{n^{2}})}

Candès等人提出了两种离散曲波变换的快速算法,分别是基于非均匀采样傅里叶变换的Curvelet变换(Based on unequally-spaced fast Fourier transforms (USFFT))和基于卷绕的Curvelet变换(Based on the wrapping of specially selected Fourier samples);对于大小为 n × n {displaystyle ntimes n} 的图片,二者的计算复杂度均为 O ( n 2 log n ) {displaystyle O(n^{2}log n)} ,约是快速傅里叶变换的6-10倍。

为了构建曲波的基函数 ϕ {displaystyle phi } ,并在二维频率平面提供一个平铺(tiling),以下两个方面应当得到考虑:

在尺度 2 j {displaystyle 2^{-j}} 下,楔形元素的数量为 N j = 4 2 j 2 {displaystyle N_{j}=4cdot 2^{lceil {frac {j}{2}}rceil }} ,也就是说,每经过两个圆环会使楔形元素数量加倍。

令频域的坐标 ξ = ( ξ 1 , ξ 2 ) T {displaystyle {boldsymbol {xi }}=(xi _{1},xi _{2})^{T}} ,所以频域的极坐标为 r = ξ 1 2 + ξ 2 2 {displaystyle r={sqrt {xi _{1}^{2}+xi _{2}^{2}}}} ω = arctan ξ 1 ξ 2 {displaystyle omega =arctan {frac {xi _{1}}{xi _{2}}}}

在极坐标下,我们假设膨胀的基本曲波为:

{displaystyle left} 内支撑,使得:

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