数学构成主义

✍ dations ◷ 2025-04-26 02:23:40 #数学哲学

在数学哲学中,构成主义或构造主义认为要证明一个数学对象存在就必须把它构造出来。如果假设一个对象不存在,并从该假设推导出一个矛盾,对于构成主义者来说,不足以证明该对象存在。(构造性证明)

构成主义常常和直觉主义混淆,实际上,直觉主义只是构成主义的一种。直觉主义强调数学的基础建立在数学家们个人的直觉上,这样就把数学在本质上作为一种主观活动。构成主义不这样强调,并和对数学的客观看法保持一致。

构造主义者的数学使用构造性逻辑,该逻辑将真实性和证明等同起来。要构造性的证明 P Q {\displaystyle P\lor Q} ,我们必须证明 P {\displaystyle P} Q {\displaystyle Q} ,或两者同时成立。要构造式的证明 x X P ( x ) {\displaystyle \exists _{x\in X}P(x)} ,我们必须给出一个特定的 a X {\displaystyle a\in X} 和一个 P ( a ) {\displaystyle P(a)} 的证明。要构造式的证明 x X P ( x ) {\displaystyle \forall _{x\in X}P(x)} ,我们必须给出一个算法,它对于每个 a X {\displaystyle a\in X} 输出一个 P ( a ) {\displaystyle P(a)} 的证明。

构造主义同时拒绝采用无穷对象,例如无穷集合和序列。

在经典实分析中,实数构造的方法之一是把它作为有理数的柯西列对。这个构造在构造主义数学中不成立,因为序列是无穷的。

作为替换,我们把实数表示为一个算法 f {\displaystyle f} ,它取一个正整数 n {\displaystyle n} 然后输出一对有理数 ( f ( n ) , f r ( n ) ) {\displaystyle (f_{\ell }(n),f_{r}(n))} 使得

使得当 n {\displaystyle n} 增大,区间 {\displaystyle } 变小,而前 n {\displaystyle n} 个这种区间的交不空。我们使用 f {\displaystyle f} 来计算它所表示的实数的任何精度的有理数近似。

在这个定义下,实数 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 可以用一个算法表示,它对于每个 0 i n {\displaystyle 0\leq i\leq n} 计算出最大的整数 a i {\displaystyle a_{i}} 使得 a i 2 2 i 2 {\displaystyle a_{i}^{2}\leq 2i^{2}} 然后输出 ( m a x { a i i } , m i n { a i + 1 i } ) {\displaystyle \left(\mathrm {max} \left\{{a_{i} \over i}\right\},\mathrm {min} \left\{{a_{i}+1 \over i}\right\}\right)}

这个定义和采用柯西列的经典定义相关,除了要求序列是构造式的:也就是说,我们有个计算第 n {\displaystyle n} 个序列中的元素的算法,所以有一个计算任意精确的对 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} 的有理数近似的算法。

注意构造性要求使得上述定义和通常非构造主义的实数定义不相容:因为每个算法 ξ {\displaystyle \xi } 必须是一个有限指令集 Σ {\displaystyle \Sigma } 上的有限序列,存在一个双射函数 f : Σ N {\displaystyle f:\Sigma ^{*}\rightarrow \mathbb {N} } 。所以所有算法的集合和所有自然数的集合有同样的基数。当使用一个非构造式的定义时,康托对角线论证证明实数比自然数有更高的基数。

传统上,数学家对于数学构造主义曾经持怀疑态度,如果不是完全反对的话,很大程度上这是因为它对构造分析的限制.

这些观点希尔伯特在1928年曾有强烈表示.他在《数学基础》(Die Grundlagen der Mathematik)写道:“把排中律从数学家那里拿走,就像把望远镜从天文学家那里拿走,或是从拳击手那里把拳头拿走一样”(排中律在构造性逻辑中不成立)。

Errett Bishop(英语:Errett Bishop),在他1967年的著作《构造性分析学基础》(Foundations of Constructive Analysis)中,作了很多驱散这种恐怖,他的办法是用构造性的框架中发展出传统的分析学的大部分.

但是,不是所有数学家都认为Bishop非常成功,因为的他的书必须比经典分析教科书更复杂.

无论如何,多数数学家不认为应该把自己限制到构造主义方式,甚至当可以这样做时。

相关

  • 苏必利尔湖苏必利尔湖(英语:Lake Superior)是北美洲五大湖中最大的一座,被加拿大的安大略省与美国的明尼苏达州、威斯康星州和密歇根州所环绕。苏必利尔湖是世界上面积最大的淡水湖;以蓄水
  • 脑桥脑桥(拉丁语: Pons)是人和两足动物小脑腹面的特有构造。脑桥在延髓的上方和小脑前方,它位于延髓与中脑的大脑脚之间,前后缘有横沟为界;外形呈白色弓状的横隆凸;内部有大量的横走的
  • 特拉华特拉华州(英语:State of Delaware),或译德拉维尔州,简称特州,为美国的一州,是最早加入美国联邦的州,所以又有“第一州”这个称呼。“第一州”这个称呼来自特拉华州是第一个复决通过
  • 害虫有害生物(Pest)泛指所有会对人类或人类日常生活关注的物种有害的动物或植物。这些人类关注的物种可能是禽畜业、农业或林业相关的物种。家居中会对人类造成滋扰的物种亦属于“
  • 亚松森亚松森(西班牙语:Asunción)是巴拉圭首都,人口约1,639,000人(2002年),位于南纬25.2667°,西经57.6667°。亚松森是巴拉圭的主要港口和工业、文化中心,工业主要有食品工业、纺织工业和
  • 公路系统国务院中央军委测绘机构中国公路交通由《中华人民共和国道路交通法》统一按照行政管理划分权限,其设施建设和维护根据《中华人民共和国公路法》属交通部公路局路政管理;民用公
  • 程序设计方法学程序设计方法学是讨论程序的性质以及程序设计的理论和方法的一门学科,是研究和构造程序的过程的学问,是研究关于问题的分析,环境的模拟,概念的获取,需求定义的描述,以及把这种描述
  • 小葡萄菌纲Heterogastridiales 白冬孢酵母目(Leucosporidiales) 微球黑粉菌目(Microbotryales) 锁掷酵母目(Sporidiobolales)微球黑粉菌纲(学名:Microbotryomycetes)是担子菌门柄锈菌亚门下的一
  • 佛山科学技术学院佛山科学技术学院(英语:Foshan University)简称佛山科技学院、佛科,原佛山大学,国家硕士学位授予单位,广东省和佛山市重点建设高水平理工科大学。佛山科学技术学院于1995年合并组
  • 中米沙鄢区中米沙鄢(英文:Central Visayas)是菲律宾的一个政区,被指定为第7政区(Region VII)。它是米沙鄢群岛的一部分,由4个省份所组成:保和省、宿雾省、东内格罗省、锡基霍尔省。本政区范围