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模判别式
✍ dations ◷ 2025-04-03 17:28:24 #模判别式
在数学中,魏尔斯特拉斯椭圆函数(Weierstrass's elliptic functions)又称 p 函数并且以
℘
{displaystyle wp }
符号表示,是格外简单的一类椭圆函数,也是雅可比椭圆函数的特殊形式。卡尔·魏尔斯特拉斯首先研究了这些函数。魏尔斯特拉斯p函数的符号固定
C
{displaystyle mathbb {C} }
中的格
Λ
=
Z
ω
1
⊕
Z
ω
2
{displaystyle Lambda =mathbb {Z} omega _{1}oplus mathbb {Z} omega _{2}}
(
ω
1
,
ω
2
∈
C
{displaystyle omega _{1},omega _{2}in mathbb {C} }
在
Q
{displaystyle mathbb {Q} }
上线性无关),对应的魏尔斯特拉斯椭圆函数定义是显然右式只与格
Λ
{displaystyle Lambda ,}
相关,无关于基
ω
1
,
ω
2
{displaystyle omega _{1},omega _{2},}
之选取。
Λ
{displaystyle Lambda ,}
的元素也称作周期。另一方面,格
Λ
{displaystyle Lambda ,}
在取适当的全纯同态
C
→
C
{displaystyle mathbb {C} to mathbb {C} }
后可表成
Λ
=
Z
⊕
Z
τ
{displaystyle Lambda =mathbb {Z} oplus mathbb {Z} tau }
,其中
τ
{displaystyle tau ,}
属于上半平面。对于这种形式的格,反之,由此亦可导出对一般的格之公式在数值计算方面,
℘
{displaystyle wp }
可以由Θ函数快速地计算,方程是假设
u
+
v
+
w
=
0
{displaystyle u+v+w=0}
,上式有一个较对称的版本此外魏尔斯特拉斯椭圆函数满足复制公式:若
2
z
{displaystyle 2z}
不是周期,则定义
g
2
,
g
3
{displaystyle g_{2},g_{3}}
(依赖于
Λ
{displaystyle Lambda }
)为求和符号
∑
w
′
{displaystyle sum '_{w}}
意谓取遍所有非零的
w
{displaystyle w}
。当
Λ
=
Z
⊕
Z
τ
{displaystyle Lambda =mathbb {Z} oplus mathbb {Z} tau }
时,它们可由艾森斯坦级数
G
4
,
G
6
{displaystyle G_{4},G_{6}}
表示。则魏尔斯特拉斯椭圆函数满足微分方程故
z
↦
(
℘
(
z
)
,
℘
′
(
z
)
)
{displaystyle zmapsto (wp (z),wp '(z))}
给出了从复环面
C
/
Λ
{displaystyle mathbb {C} /Lambda }
映至三次复射影曲线
y
2
=
4
x
3
−
g
2
x
−
g
3
{displaystyle y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}}
的全纯映射;可证明这是同构。另一方面,将上式同除以
℘
′
{displaystyle wp '}
,积分后可得右侧是复平面上的路径积分,对不同的路径
℘
(
z
1
)
→
℘
(
z
2
)
{displaystyle wp (z_{1})to wp (z_{2})}
,其积分值仅差一个
Λ
{displaystyle Lambda }
的元素;所以左式应在复环面
C
/
Λ
{displaystyle mathbb {C} /Lambda }
中考虑。在此意义下,魏尔斯特拉斯椭圆函数是某类椭圆积分之逆。续用上节符号,模判别式
Δ
{displaystyle Delta }
定义为下述函数视为周期格的函数,这是权 12 之模形式。模判别式也可以用戴德金η函数表示。
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