模判别式

在数学中，魏尔斯特拉斯椭圆函数（Weierstrass's elliptic functions）又称 p 函数并且以 ℘ {displaystyle wp } 符号表示，是格外简单的一类椭圆函数，也是雅可比椭圆函数的特殊形式。卡尔·魏尔斯特拉斯首先研究了这些函数。魏尔斯特拉斯p函数的符号固定 C {displaystyle mathbb {C} } 中的格 Λ = Z ω 1 ⊕ Z ω 2 {displaystyle Lambda =mathbb {Z} omega _{1}oplus mathbb {Z} omega _{2}} （ ω 1 , ω 2 ∈ C {displaystyle omega _{1},omega _{2}in mathbb {C} } 在 Q {displaystyle mathbb {Q} } 上线性无关），对应的魏尔斯特拉斯椭圆函数定义是显然右式只与格 Λ {displaystyle Lambda ,} 相关，无关于基 ω 1 , ω 2 {displaystyle omega _{1},omega _{2},} 之选取。 Λ {displaystyle Lambda ,} 的元素也称作周期。另一方面，格 Λ {displaystyle Lambda ,} 在取适当的全纯同态 C → C {displaystyle mathbb {C} to mathbb {C} } 后可表成 Λ = Z ⊕ Z τ {displaystyle Lambda =mathbb {Z} oplus mathbb {Z} tau } ，其中 τ {displaystyle tau ,} 属于上半平面。对于这种形式的格，反之，由此亦可导出对一般的格之公式在数值计算方面， ℘ {displaystyle wp } 可以由Θ函数快速地计算，方程是假设 u + v + w = 0 {displaystyle u+v+w=0} ，上式有一个较对称的版本此外魏尔斯特拉斯椭圆函数满足复制公式：若 2 z {displaystyle 2z} 不是周期，则定义 g 2 , g 3 {displaystyle g_{2},g_{3}} （依赖于 Λ {displaystyle Lambda } ）为求和符号 ∑ w ′ {displaystyle sum '_{w}} 意谓取遍所有非零的 w {displaystyle w} 。当 Λ = Z ⊕ Z τ {displaystyle Lambda =mathbb {Z} oplus mathbb {Z} tau } 时，它们可由艾森斯坦级数 G 4 , G 6 {displaystyle G_{4},G_{6}} 表示。则魏尔斯特拉斯椭圆函数满足微分方程故 z ↦ ( ℘ ( z ) , ℘ ′ ( z ) ) {displaystyle zmapsto (wp (z),wp '(z))} 给出了从复环面 C / Λ {displaystyle mathbb {C} /Lambda } 映至三次复射影曲线 y 2 = 4 x 3 − g 2 x − g 3 {displaystyle y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}} 的全纯映射；可证明这是同构。另一方面，将上式同除以 ℘ ′ {displaystyle wp '} ，积分后可得右侧是复平面上的路径积分，对不同的路径 ℘ ( z 1 ) → ℘ ( z 2 ) {displaystyle wp (z_{1})to wp (z_{2})} ，其积分值仅差一个 Λ {displaystyle Lambda } 的元素；所以左式应在复环面 C / Λ {displaystyle mathbb {C} /Lambda } 中考虑。在此意义下，魏尔斯特拉斯椭圆函数是某类椭圆积分之逆。续用上节符号，模判别式 Δ {displaystyle Delta } 定义为下述函数视为周期格的函数，这是权 12 之模形式。模判别式也可以用戴德金η函数表示。