单峰映象

✍ dations ◷ 2025-04-04 11:10:44 #混沌理论,分形,混沌映射

单峰映射（logistic map）是种二次的多项式映射（递推关系式），是一个由简单非线性方程产生混沌现象的经典范例。这种映射因生物学家Robert May在1976年发表的一篇论文而著名。单峰映射原本被Pierre François Verhulst用作一个人口学模型，后来应用在物种受到限制因素之下的数目。数学上可写成

其中

单峰映射是根据以下两个现象：

可是在特定初始条件及参数时，单峰映射的人口模型会出现负的人口数，较早期使用的Ricker模型（英语：Ricker model）也有混沌现象，但没有这种问题。

$r=4$ 表示拉伸的指数成长，因此造成蝴蝶效应，也就是对初始值的高度灵敏性，而解中包括正弦函数的平方，使解折叠在的范围内。

$r=2$ 趋近无限大时 $(1-2x_{0})^{2^{n}}$ = 4时，几乎所有的初值都会使单峰映射出现混沌特性，不过也存在无限个初值会使单峰映射最后呈周期性变化，而且对于所有正整数，都存在一初值使单峰映射的周期为该正整数。可以利用单峰映射和位元位移映射（英语：bit-shift map）之间的关系来找出任何周期的循环。若依照单峰映射 $x_{n+1}=4x_{n}(1-x_{n})\,$ 依照位元位移映射

则二个变量的关系如下：

位元位移映射其名称是因为当以二进制表示时，映射会将二进制的数字左移一位。例如若数字是二进制的循环小数，循环节为001，则位元位移映射的序列为001001001... →010010010... →100100100... →001001001...，为周期为3的循环，循环节为010, 011, 100, 101, 110 时也会有类似情形，这些循环小数都可以转换为对应的分数，上例若以分数表示为：1/7 → 2/7 → 4/7 → 1/7。转换到r=4的单峰映射后，为611260467... → .950484434... → .188255099... → .611260467...。其他周期为3的循环也可以转换为单峰映射。依相同方式也可以找出在位元位移映射下，任意周期的循环，再转换为单峰映射。

不过几乎所有在区间[0, 1)的数字都是无理数，而初始值为无理数的位元位移映射没有循环的特性，因此对应的单峰映射也没有循环的特性。

相关

亨利·卡文迪什亨利·卡文迪什（英语：Henry Cavendish，又译亨利·卡文迪许、亨利·卡文狄西、亨利·卡文迪西，1731年10月10日－1810年2月24日），英国物理学家、化学家。他首次对氢气的性质进行了细致
LGBT权利活动家列表在同志历史上，同志权利运动家是指奉献己力，推动同志权利改革的人。他们或投身政治、参与立法工作，或以出版、投书、舆论等方式宣扬同志理念，为同志争取平等权利。
钟惠澜钟惠澜（1901年6月24日－1987年2月6日），广东梅县人，中国热带病学家，曾任北京大学人民医院院长。
公共卫生服务军官团军官军衔军官团人员及应变部马里兰州罗克威尔美国公共卫生服务军官团，是美国公共卫生局隶下的联邦制服部队（英语：Uniformed services of the United States），亦是美国八支制服军种之一
吴其濬吴其濬（1789年－1847年），字季深，一字瀹斋，号吉兰。河南固始县人。清代状元、政治人物、植物学家。他是清代河南省唯一的状元。生于乾隆五十四年（1789年），嘉庆二十二年（1817年）状元，授翰林
合作性竞争合作性竞争，又称竞合，是商业上的时髦词语。卡特尔就是一个著名的例子，一组公司互相合作来减少竞争。相反地，合作性竞争的焦点放在竞争性的市场中的公司之间的合作。例如苹果电脑
健康管理系统健康管理系统（英语：Health management system）属进化医学或演化医学的范畴，是指一个专业的计量系统，透过对个人或人群的健康危险因素进行监测、评估、指导的全过程，其宗旨是调动个
阴道隔阴道隔（英语：vaginal septum），是指阴道在发育中出现先天性的分区，其中隔膜可能是横向或纵向的。阴道发育异常是因胚胎发育过程中副中肾管发育受到干扰产生。比如双侧副中肾管会合
安卡什大区安卡什区（西班牙语：Ancash）是秘鲁北部的一个行政区，首府瓦拉斯，最大城市则为钦博特。该区北接拉利伯塔德区，东邻瓦努科区和帕斯科区，南连利马区，西濒太平洋。安卡什区区名源于克丘亚
洛斯罗克斯群岛国家公园洛斯罗克斯群岛国家公园是委内瑞拉的国家公园，位于该国北部，由联邦属地负责管辖，面积2,211平方公里，始建于1972年8月9日，每年平均降雨量250毫米。