单峰映象

✍ dations ◷ 2025-09-08 04:30:18 #混沌理论,分形,混沌映射

单峰映射（logistic map）是种二次的多项式映射（递推关系式），是一个由简单非线性方程产生混沌现象的经典范例。这种映射因生物学家Robert May在1976年发表的一篇论文而著名。单峰映射原本被Pierre François Verhulst用作一个人口学模型，后来应用在物种受到限制因素之下的数目。数学上可写成

其中

单峰映射是根据以下两个现象：

可是在特定初始条件及参数时，单峰映射的人口模型会出现负的人口数，较早期使用的Ricker模型（英语：Ricker model）也有混沌现象，但没有这种问题。

$r=4$ 表示拉伸的指数成长，因此造成蝴蝶效应，也就是对初始值的高度灵敏性，而解中包括正弦函数的平方，使解折叠在的范围内。

$r=2$ 趋近无限大时 $(1-2x_{0})^{2^{n}}$ = 4时，几乎所有的初值都会使单峰映射出现混沌特性，不过也存在无限个初值会使单峰映射最后呈周期性变化，而且对于所有正整数，都存在一初值使单峰映射的周期为该正整数。可以利用单峰映射和位元位移映射（英语：bit-shift map）之间的关系来找出任何周期的循环。若依照单峰映射 $x_{n+1}=4x_{n}(1-x_{n})\,$ 依照位元位移映射

则二个变量的关系如下：

位元位移映射其名称是因为当以二进制表示时，映射会将二进制的数字左移一位。例如若数字是二进制的循环小数，循环节为001，则位元位移映射的序列为001001001... →010010010... →100100100... →001001001...，为周期为3的循环，循环节为010, 011, 100, 101, 110 时也会有类似情形，这些循环小数都可以转换为对应的分数，上例若以分数表示为：1/7 → 2/7 → 4/7 → 1/7。转换到r=4的单峰映射后，为611260467... → .950484434... → .188255099... → .611260467...。其他周期为3的循环也可以转换为单峰映射。依相同方式也可以找出在位元位移映射下，任意周期的循环，再转换为单峰映射。

不过几乎所有在区间[0, 1)的数字都是无理数，而初始值为无理数的位元位移映射没有循环的特性，因此对应的单峰映射也没有循环的特性。

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