范数

✍ dations ◷ 2025-04-03 10:45:49 #线性代数,泛函分析,度量几何,范数

范数(英语:norm),是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域,是一个函数,其为向量空间内的所有向量赋予非零的正长度或大小。另一方面,半范数(英语:seminorm)可以为非零的向量赋予零长度。

举一个简单的例子,一个二维度的欧氏几何空间 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} 是域上的向量空间;的半范数是一个函数 p : V R ; x p ( x ) {\displaystyle p:V\to \mathbb {R} ;x\mapsto {}p(x)} 维欧几里德空间 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 维复数空间 C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} 是一个列向量( T {\displaystyle ^{\mathrm {T} }} 维球面。

如果将复平面看作欧几里得平面 R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} ,那么复数的欧几里得范数是其绝对值(又称为模)。这样,我们可把 x + i y {\displaystyle x+i\,y} 视为欧几里得平面上的一个向量,由此,这个向量的欧几里得范数即为 x 2 + y 2 {\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} (最初由欧拉提出)。

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