积度量

✍ dations ◷ 2025-08-29 12:36:49 #度量几何

在数学里，积度量（product metric）是在两个以上度量空间之笛卡尔积内的度量。n 个度量空间之笛卡尔积的积度量，可视为是将 n 个子空间的范数作为 n 维向量之各分量，取其 p-范数所得之值。

令 $(X,d_{X})$ $(X,d_{X})$ 与 $(Y,d_{Y})$ $(Y,d_{Y})$ 为度量空间，且令 $1\leq p\leq +\infty$ $1\leq p\leq +\infty$ 。 $X\times Y$ $X\times Y$ 上之 p-积度量 $d_{p}$ $d_{p}$ 定义为

在欧氏空间里，使用 L₂ 范数会在积空间里产生欧几里得度量；不过，选择 p 的其他值也会形成其他拓扑等价的度量空间。在度量空间范畴（具有利普希茨常数为 1 的利普希茨映射）里，使用上确界范数。

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