张量积

在数学中，张量积，记为 ${\displaystyle \otimes <!--\; \otimes \; -->}$ 和 是秩分别为 和 的两个协变张量，则它们的张量积的分量给出为

所以两个张量的张量积的分量是每个张量的分量的普通积。

注意在张量积中，因子 消耗第一个 rank() 指标，而因子 消耗下一个 rank() 指标，所以

设 U 是类型 (1,1) 的张量，带有分量 ；并设 V 是类型 (1,0) 的张量，带有分量 。则

而

张量积继承它的因子的所有指标。

对于矩阵这个运算通常叫做克罗内克积，用来明确结果有特定块结构在其上，其中第一个矩阵的每个元素被替代为这个元素与第二个矩阵的积。对于矩阵 ${\displaystyle U}$ 和 的张量积 ${\displaystyle V\otimes <!--\; \otimes \; -->W}$ 和 基 ${\displaystyle \{v_i\}}$ 把笛卡尔积 × 嵌入到向量空间 的问题。张量积构造 ⊗ 与给出自

的自然嵌入映射  : × → ⊗ 一起是这个问题在如下意义上的“泛”解。对于任何其他这种对(, )，这里的 是向量空间，而 ψ 是双线性映射 × → ，则存在一个唯一的线性映射

使得

假定这个泛性质，张量积在同构意义下的惟一性是容易验证的。

直接推论是从 × 到 的双线性映射

和线性映射

的同一性。它是 到 的自然同构映射。

两个希尔伯特空间的张量积是另一个希尔伯特空间，其定义如下。

设 ${\displaystyle H_1}$₁ 和₂ 的张量积${\displaystyle H_1\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\otimes <!--\; \otimes \; -->}{H}_2}$₁ 和 ₂作为希尔伯特空间的张量积。在希尔伯特空间的范畴中，${\displaystyle H_1\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{\otimes <!--\; \otimes \; -->}{H}_2}$₁ 和 ₂ 分别有正交基 {φ} 和 {ψ}，则 {φ ⊗ ψ} 是 ₁ ⊗ ₂ 的正交基。

在泛性质的讨论中，替代 为 和 的底层标量域生成空间 ${\displaystyle (V\otimes <!--\; \otimes \; -->W{)}^{\star <!--\; \star \; -->}}$（${\displaystyle V\otimes <!--\; \otimes \; -->W}$ 的对偶空间，包含在那个空间上的所有线性泛函），它自然的同一于在 ${\displaystyle V\times <!--\; \times \; -->W}$ 上所有双线性函数的空间。换句或说，所有双线性泛函是在张量积上的泛函，反之亦然。

只要 ${\displaystyle V}$ 和 ${\displaystyle W}$ 是有限维的，在 ${\displaystyle V^{\star <!--\; \star \; -->}\otimes <!--\; \otimes \; -->W^{\star <!--\; \star \; -->}}$ 和 ${\displaystyle (V\otimes <!--\; \otimes \; -->W{)}^{\star <!--\; \star \; -->}}$ 之间有一个自然的同构，而对于任意维的向量空间我们只有一个包含 ${\displaystyle V^{\star <!--\; \star \; -->}\otimes <!--\; \otimes \; -->W^{\star <!--\; \star \; -->}\subset <!--\; \subset \; -->(V\otimes <!--\; \otimes \; -->W{)}^{\star <!--\; \star \; -->}}$。所以线性泛函的张量是双线性泛函。这给我们一种新看法，把双线性泛函看做张量积自身。